Prob1-6

I primi sei problemi consistono nel ritrovare le parti in cui è stato diviso, dai partecipanti del gioco, un numero proposto in precedenza.
Si tratta cioè di ritrovare più numeri data che ne sia la somma.
Per giungere allo scopo, il proponente fa eseguire sul numero o sulle sue parti, una serie di operazioni aritmetiche dal cui risultato, risale alle varie parti in cui il numero originario è stato diviso.
1) De un numero in doi parti
Diviso il numero noto a in due parti x e y (x>y) incognite al proponente del gioco, si fanno eseguire mentalmente le seguenti operazioni:
- Si aggiunga l'unità ad a e si moltiplichi il numero ottenuto per a, da tale prodotto si tolgono successivamente i prodotti di 2x e ay.
Rivelato il risultato r al proponente, egli indovinerà dividendo r per a-1 , il quoziente sarà x ed il resto sarà y.
Se ad esempio a fosse = 20, ed i partecipanti decidessero per x = 11 e y = 9
Mentalmente si esegue : 20+1=21, 21x20= 420, 420-22=398, 398-180 =218 = r
L'esecutore da 218 , indovina facendo 218/19 = 11 resto 9.

Tutta questa operazione scritta in termini matematici (come faremo di seguito per sintesi) diventa:

a(a+1) - (2x+ay)    a-1
----------------------- = x+ --------
(a-1)        y

Questo procedimento si trova già in Fibonacci (Liber Abbaci pag.306) il quale riporta anche un metodo leggermente diverso introducendo un secondo intero b>a:

a(b+1) - (ax+by) y
------------------------- = x+ --------
(b-a+1) b-a+1

2) De un numero diviso in 3 parti
Il calcolo delle 3 parti x, y, z, in cui è stato diviso l'intero noto a è fondata sulla relazione:

a(a+1) - [2x+ay+(a+1)z] y
---------------------------------- = x+ ------
a-1 a-1

3) Pur de un numero in 3 parti diviso aliter
In questo caso Pacioli ricorre alla relazione:

a^2 - [2x+(a-1)y+az] y
----------------------------- = x+ -------
a-2       a-2

4) De un numero in 3 diviso
Pacioli riporta un'altra idantita' per la divisione in 3 usata già da Fibonacci:

a (b+1) - [2x+by+(b+1 9z] y
------------------------------------ = x+ ---------
b-1 b-1

e nota come questa sia un caso particolare della forma piu' generale :

a(b+1) - [nx+by+(b+1)z] y
---------------------------------- = x + -----------
b-n+1 b-n+1

Viene usata ancora questa ultima forma per indovinare i punti segnati da due o tre dadi, qualora se ne conosca la somma al problema 61.

5) De un numero diviso fra 4 o vero in 4 parti
Le parti x, y, z, t, in cui è stato diviso il numero a sono ritrovati mediante le seguenti relazioni:

[3a - (3x+2y+2z+2t)] = a-x
[3a - (2x+3y+2z+2t)] = a-y
[3a - (2x+2y+3z+2t)] = a-z
[3a - (2x+2y+2z+3t)] = a-t

6) De un numero diviso in 5 parti
Posto a = x+y+z+t+u
Si ritrovano le varie parti utilizzando:

[4a - (4x+3y+3z+3t+3u)] = a-x
[4a - (3x+4y+3z+3t+3u)] = a-y
[4a - (3x+3y+4z+3t+3u)] = a-z
[4a - (3x+3y+3z+4t+3u)] = a-t
[4a - (3x+3y+3z+3t+4u)] = a-u

Dobbiamo notare che le le varie somme fra parentesi tonde, sono permutazioni circolari, difatti Pacioli nella lunga spiegazione dice, ad esempio per ritrovare t
nella quarta riga :

Bachet nel suo Problème VII a pag. 38 ( mi riferisco alla terza edizione del 1874) utilizza lo stesso principio per ritrovare piu' numeri data che ne sia la somma.