TESSERE di MAC MAHON SU SUPERFICI TRIDIMENSIONALI
INTRODUZIONE
Una serie di pezzi di Mac Mahon è costituita generalmente da un insieme di tessere quadrate o triangolari colorate su ogni lato o su ogni vertice con n colori.
Se, ad esempio, i lati di un quadrato vengono contrassegnati in tutti i modi possibili con 3 simboli, si otterrà un insieme di 24 differenti pezzi.
Se un pezzo coincide con un'altro dopo essere stato ruotato, viene considerato identico.
Il problema è essenzialmente quello di posizionare queste tessere seguendo due regole fondamentali:
- Se i pezzi sono colorati lungo i lati , lati adiacenti devono avere lo stesso colore.
- Se i pezzi sono colorati ai vertici, tutti i vertici che si incontrano in uno stesso punto devono avere colori differenti.
A ottanta anni dall'uscita del libro di Percy MacMahon "New Mathematical Pastime", mi meraviglio del poco lavoro di indagine svolto intorno a queste serie colorate che nondimeno nascondono sorprese interessanti.
MacMahon nel suo libro propone perlopiu' problemi bidimensionali, per questo utilizza tessere quadrate o triangolari, più idonee a saturare il piano, ma questo tipo di tassellatura presenta un difetto di forma, difatti i bordi esterni delle figure composte non entrano in gioco, oppure devono sottostare a regole diverse.
Ho indagato sulla possibilità di collocare queste tessere su superfici di poliedri piu' o meno regolari.
In questo modo, si ottengono costruzioni più "perfette" perchè tutti i pezzi sottostanno alla stessa regola, in più la varietà dei pezzi che potremo utilizzare è maggiore, perchè le facce interessate possono essere rettangoli, rombi, trapezi, triangoli iscosceli ecc.
Ho diviso l'argomento in 4 sezioni:
- Enumerazione dei pezzi
- Individuazione di possibili costruzioni
- Soluzioni
- Bibliografia
| CLASSIFICAZIONE ED ENUMERAZIONE DEI PEZZI
Per la classificazione dei pezzi ci sono due caratteristiche fondamentali che vanno considerate RIPETIZIONE e RIFLESSIONE.
Con RIPETIZIONE si intende la possibilità che più lati di una stessa tessera siano dello stesso colore.
Ovviamente in quelle serie dove la ripetizione è ammessa un solo colore è sufficiente per ottenere almeno una tessera, in quelle serie dove la ripetizione non è ammessa, occorreranno almeno tanti colori quanti sono i lati dei pezzi considerati.
Con RIFLESSIONE identifichiamo quelle coppie di pezzi con colorazione speculare (Enantiomorfi).
Pertanto in quelle serie dove la riflessione è ammessa, due pezzi speculari sono considerati distinti, in quelle serie dove la riflessione non è ammessa, le due colorazioni speculari convivono sulla stessa tessera, che in questo caso è colorata su entrambe le facce e diviene così un pezzo reversibile.
Dopo questa premessa possiamo considerare 4 tipi di famiglie che chiameremo A,B,C,D secondo lo schema seguente:
| Ripetizioni
| Riflessioni
| | A
| Si
| Si
| | B
| No
| Si
| | C
| Si
| No
| | D
| No
| No
|
Utilizzando note formule combinatorie possiamo ora contare di quante tessere è composta ciascuna famiglia in base alla forma delle Tessere: Triangoli equilareri, quadrati ecc., ed in base al numero di colori n utilizzati.
TRIANGOLI EQUILATERI (TRE)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| (n^3+2n)/3
| 1
| 4
| 11
| 24
| 45
| 76
| 119
| | B
| n(n-1)(n-2)/3
| -
| -
| 2
| 8
| 20
| 40
| 70
| | C
| n(n^2+3n+2)/6
| 1
| 4
| 10
| 20
| 35
| 56
| 84
| | D
| n(n-1)(n-2)/6
| -
| -
| 1
| 4
| 10
| 20
| 35
|
TRIANGOLI ISOSCELI (TRI)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| n^3
| 1
| 8
| 27
| 64
| 125
| 216
| 343
| | B
| n(n-1)(n-2)
| -
| -
| 6
| 24
| 60
| 120
| 210
| | C
| n^2(n+1)/2
| 1
| 6
| 18
| 40
| 75
| 126
| 196
| | D
| n(n-1)(n-2)/2
| -
| -
| 3
| 12
| 30
| 60
| 105
|
QUADRATI (QUA)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| (n^4+n^2+2n)/4
| 1
| 6
| 24
| 70
| 165
| 336
| 616
| | B
| n(n-1)(n-2)(n-3)/4
| -
| -
| -
| 6
| 30
| 90
| 210
| | C
| n(n-1)(n^2+n+2)/8
| 1
| 6
| 21
| 55
| 120
| 231
| 406
| | D
| n(n-1)8n-298n-3)/8
| -
| -
| -
| 3
| 15
| 45
| 105
|
DELTOIDI E TRAPEZI ISOSCELI (DEL) e (TRA)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| n^4
| 1
| 16
| 81
| 256
| 625
| 1296
| 2401
| | B |
n(n-1)(n-2)(n-3)
| -
| -
| -
| 24
| 120
| 360
| 840
| | C
| (n^4+n^2)/2 Deltoidi
| 1
| 10
| 45
| 136
| 325
| 666
| 1225
| | C
| n^3(n+1)/2 Trapezi
| 1
| 12
| 54
| 160
| 375
| 756
| 1372
| | D
| n(n-1)(n-2)(n-3)/2
| -
| -
| -
| 12
| 60
| 180
| 420
|
ROMBI E RETTANGOLI (ROM) e (RET)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| (n^4+n^2)/2
| 1
| 10
| 45
| 136
| 325
| 666
| 1225
| | B |
n(n-1)(n-2)(n-3)/2
| -
| -
| -
| 12
| 60
| 180
| 420
| | C
| n^2(n^2+3)/4 Rombi
| 1
| 7
| 27
| 76
| 175
| 351
| 637
| | C
| n^2(n^2+2n+1)/4 Rettangoli
| 1
| 9
| 36
| 100
| 225
| 441
| 784
| | D
| n(n-1)(n-2)(n-3)/4
| -
| -
| -
| 6
| 30
| 90
| 210
|
PENTAGONI REGOLARI (PEN)
|
| Formule con n =
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| | A
| n(n^4+4)/5
| 1
| 8
| 51
| 208
| 629
| 1560
| 3367
| | B |
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5
| -
| -
| -
| -
| 24
| 144
| 504
| | C
| n(n^4+5n^2+4)/10
| 1
| 8
| 39
| 136
| 377
| 888
| 1855
| | D
| n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/10
| -
| -
| -
| -
| 12
| 72
| 252
|
POSSIBILI COSTRUZIONI
Osservando le tavole precedenti e' possibile individuare un notevole numero di combinazioni che possono dar luogo a differenti poliedri.
Per le regole suddette: SU = Spigoli Uguali, VD = Vertici Differenti
Ecco un elenco di 39 problemi ammissibili.
| Num
| POLIGONI
| SIGLA
| PEZZI
| POLIEDRO
| REGOLA
| | 1
| Triangoli Equilateri
| B4
| 8
| Ottaedro
| SU
| | 2
| Triangoli Equilateri
| B4
| 8
| Ottaedro
| VD
| | 3
| Triangoli Equilateri
| B5
| 20
| Icosaedro
| SU
| | 4
| Triangoli Equilateri
| B5
| 20
| Icosaedro
| VD
| | 5
| Triangoli Equilateri
| A4
| 24
| Stella Octangula di Keplero
| SU
| | 6
| Triangoli Equilateri
| A4
| 24
| Tetrachisesaedro
| SU
| | 7
| Triangoli Isosceli
| B4
| 24
| Triachisottaedro
| SU
| | 8
| Triangoli Isosceli
| D4
| 12
| Triachistetraedro
| SU
| | 9
| Triangoli Isosceli |
D4
| 12
| 2 su ogni faccia del cubo
| SU
| | 10
| Triangoli Isosceli |
D4
| 12
| Cubo Cavo
| SU
| | 11
| Triangoli Isosceli |
D4
| 12
| Ottaedro Cavo
| SU
| | 12
| Triangoli Isosceli |
C3
| 18
| 3 su ogni faccia di 2 tetraedri uniti
| SU
| | 13
| Triangoli Isosceli
| B4
| 24
| Tetrachisesaedro
| SU
| | 14
| Triangoli Isosceli
| B5
| 60
| Piccolo Dodecaedro Stellato
| SU
| | 15
| Triangoli Isosceli
| B5
| 60
| Triachisicosaedro
| SU
| | 16
| Quadrati
| B4
| 6
| Cubo
| SU
| | 17
| Quadrati+Tri.Equi.
| B4+B4
| 6+8
| Cubottaedro
| SU
| | 18
| Quadrati+Tri.Equi.
| B4+B4
| 6+8
| Cubottaedro
| VD
| | 19
| Quadrati
| A3
| 24
| Cubo 2x2x2
| SU
|
| 20
| Quadrati
| B5
| 30
| Stella di 7 cubi
| SU
| | 21
| Rombi
| D5
| 30
| Triacontaedro Rombico
| SU
| | 22
| Rombi
| B4
| 12
| Dodecaedro Rombico
| SU
| | 23
| Rett+Quadr+TriEqui
| B4
| 12+6+8
| Cubo Smussato
| SU
| | 24
| Rett+Quadr+TriEqui
| B4
| 12+6+8
| Cubo Smussato
| VD
| | 25
| Rett+Pent+TriEqui
| D5+D5+B5
| 30+12+20
| Dodecaedro Smussato
| SU
| | 26
| Deltoidi
| D5
| 60
| Esacontaedro Trapezioidale
| SU
| | 27
| Deltoidi
| D5
| 60
| Piccolo Triacontaedro Stellato
| SU
| | 28
| Trapezi+Quadrati
| B4+B4
| 24+6
| 6 Piramidi Tronche sul Cubo
| SU
| | 29
| Trapezi+TriEqui
| D4+D4
| 12+4
| 4 Piramidi Tronche sul Tetraedro
| SU
| | 30
| Trapezi+TriEqui
| B4+B4
| 24+8
| 8 Piramidi Tronche sull'Ottaedro
| SU
| | 31
| Trapezi+Pentagoni
| D5+D5
| 60+12
| 12 Piramidi Tronche sul Dodecaedro
| SU
| | 32
| Pentagoni+TriEqui
| D5+B5
| 12+20
| Icosidodecaedro
| SU
| | 33
| Penta+TriEqui+Quadr
| D5+B5+B5
| 12+20+30
| Piccolo Rombicosidodecaedro
| SU
| | 34
| Deltoidi
| D4
| 12
| 3 su ogni faccia del Tetraedro
| SU
| | 35
| Deltoidi
| B4
| 24
| 3 su ogni faccia dell'Ottaedro
| SU
| | 36
| Triangoli Isosceli
| D5
| 30
| Icosaedro Cavo
| SU
| | 37
| Triangoli Isosceli
| D5
| 30
| Dodecaedro Cavo
| SU
| | 38
| Pentagoni
| D5
| 12
| Dodecaedro
| SU
|
BIBLIOGRAFIA
- P.A. MacMahon e J.R.Jocelyn UK pat. 3927. Gennaio 1893. Sono i 24 TriangoliEqui. A4.
- P.A. MacMahon "New Mathematical Pastime" Cambridge 1921. Descrive i 24 (TRI) A4, 24 (QUA) A3 e I 30 Cubi.
- Martin Gardner "New Mathematical Diversions" Fireside 1966. 24 (QUA) A3, 30 Cubi. Riporta i risultati di una analisi al computer fatta da G.Feldman. del rettangolo 6x4 con 12261 soluzioni.
- M.Gardner"Weels, Life....." Freeman 1983 a pag. 23 da' le 3 sol. del prob. 38 descritte da Conway col nome di Quintomino in Eureka Ott.1959.
- M.Odier "Pattern in Space" in Games and Puzzles #41 Ott.1975. Descrive un icosaedro magnetico con tessere triangolari venduto dalla compagnia francese Anvar, riporta una soluzione del tipo VD.
- "Enigma" dodecaedro in plastica che riproduce il prob. 38 venduto negli USA nel 1972.
- W.E.Philpott "Journal of Recreational Mathematics" vol.7 1974 pp. 266-275. Riporta il prob. 19 e dice che fu proposto da J.B.Haley e H.Nelson.
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