Hai 9 palle da biliardo apparentemente identiche. Sette di queste hanno
lo stesso peso, le restanti due sono una piu’ leggera, e l’altra piu’
pesante delle precedenti, ma insieme pesano come due palle normali.
Avendo a disposizione la solita bilancia a doppio piatto, puoi con 4
pesate identificare le 2 palle diverse, indicandone anche la diversita’,
piu’ leggera e piu’ pesante ?

Il mago invita 2 spettatori A e B a prelevare, da un mazzo ben
mescolato, un mazzetto di carte a testa. I due mazzetti devono contenere
lo stesso numero di carte. Se, ad es. A prende 5 carte, allora anche B
ne prendera’ 5.
Il mago da’ le istruzioni girato di spalle e non ha modo di conoscere il
numero delle carte prelevate. Un terzo spettatore C, memorizza la carta
superiore del mazzo rimasto sul tavolo a faccia in basso. A questo
punto, il mago, prega lo spettatore A di porre il proprio mazzetto in
cima al mazzo sul tavolo, coprendo cosi’ la carta memorizzata.
Finalmente il mago si gira, prende il mazzo dal tavolo spiegando di
poter ritrovare la carta vista, usando il suo fiuto magico, a tal
proposito annusa una carta alla volta, sul dorso ponendole ad una ad una
sul tavolo, ma dopo aver annusato un certo numero di carte, afferma di
non essere riuscito nell’intento. Ora ci riprova, rimette sul mazzo il
pacchetto di carte annusate, e per rendere la cosa piu’ difficile, fa
porre in cima, dallo spettatore B, il proprio mazzetto.
Ricomincia ad annusare, e dopo aver scorso un certo numero di carte,
annuncia: “questa e’ la carta vista dallo spettatore C”.
Come ha fatto ad indovinare, non conoscendo il numero di carte
prelevate, e vedendo sempre le carte di dorso ?

Triangolazioni Naturali
Il mio amico argentino Rodolfo Kurchan propone il seguente problema.
I numeri triangolari possono essere rappresentati come rettangoli:

1+2+3                = 2x3
1+2+3+4              = 2x5
1+2+3+4+5            = 3x5
1+2+3+4+5+6          = 3x7
1+2+3+4+5+6+7        = 4x7, 2x14
1+2+3+4+5+6+7+8      = 6x6, 2x18, 3x12, 4x9
1+2+3+4+5+6+7+8+9    = 5x9, 3x15
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5x11
......ecc.... 

Il problema allora, e’ quello geometrico di dividere i rettangoli, con
linee congiungenti coordinate intere del reticolo, in modo da ottenere n
triangoli con aree di 1,2,3,…,n rispettivamente.

Es. di soluzioni:

 ___b_______c
|   |   |   |    
|___|___|___| 
|   |   |   |
|___|___|___|
a

2×3, tracciando le linee ab, ac, si ottengono 3 triangoli appunto di
aree 1,2,3.

a __b_______________
|   |   |   |   |   |
|___|___|___|___|___|
|   |   |   |   |   |
|___|___|___|___|___|
        c           d    

2×5, tracciando le linee ac, cb, bd, si ottengono 4 triangoli di area
1,2,3,4 rispettivamente.

Per quali altri rettangoli elencati sopra esiste almeno una soluzione ?__
Attualmente ho risultati riguardanti 2×3,2×5,4×7,6×6,4×9

La vecchia questione dei numeri sia triangolari che quadrati risollevata
da Silvio, puo’ essere da stimolo per investigare sull’intero argomento.
Prendiamo i num. figurati in 2D e 3D.
Poligonali:

Triangoli     n(n+1)/2
Quadrati      n^2
Pentagoni     n(3n-1)/2
Esagoni       n(2n-1)
Ettagoni      n(5n-3)/2
Ottagoni      n(3n-2)
K-agoni       n(nm-m+2)/2         dove m = K-2.

Piramide a base:

Triangolare   n(n+1)(n+2)/6
Quadrata      n(n+1)(2n+1)/6
Pentagonale   n^2(n+1)/2
Esagonale     n(n+1)(4n+1)/6
Ettagonale    n(n+1)(5n-2)/6
Ottagonale    n(n+1)(2n-1)/2
K-agonale     n(n+1)(nm-m+3)/6    dove m = K-2
Rettangolare      n(n+1)(2n+3p-2)/6   
                  dove p e' il num. di elementi della fila superiore.

Quali numeri sono comuni per ogni coppia di queste famiglie ?
Riporto alcuni esempi:

Triangoli-Quadrati l’abbiamo appena trattato.

Triangoli-Tetraedri e’ un caso speciale di una questione piu’ generale riguardante il coefficiente binomiale.
C(n,2)=C(m,3) uniche sol. non banali

(m,n)=(10,16),(22,56),(36,120).
Ci sono altri esempi oltre che (10,21) per C(n,2)=C(m,4)??

Quadrati-Piramide Quadrata e’ un vecchio problema dato da Eduard Lucas.
Unica sol. 70^2.

Quadrati-Tetraedri Unica sol. conosciuta 140^2.

Per tutti gli altri accoppiamenti cosa si puo’ dire??
Molti problemi possono essere posti. Es. Se ho a disposizione 36.894
arance posso disporle in una piramide a base quadrata, oppure in una a
base triangolare o ancora in un’altra a base rettangolare.
Quanti piani avra’ ciascuna piramide ? (Il caso di 1 solo piano per la
rettangolare, non vale).

Non molti giorni fa abbiamo trattato delle partizioni non orientate di
un numero n.
Se identifichiamo con P(n) il numero di tali partizioni, possiamo vedere
ad es:
P(4)=5 e sono: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1.
Definiamo ” Partizione Perfetta ” PP, un intero n che e’ fattore di
P(n).
Come visto n=4 non e’ PP, perche’ 4 non divide 5.
I primi PP sono 1,2,3…. cerca i prossimi.

Ogni stanza della mia casa ha un numero pari di porte.
E’ possibile che le porte di accesso alla casa (quelle che si affacciano
sulla strada, per intenderci) siano in numero dispari ??

Un’urna contiene un certo numero di palline colorate ciascuna con uno di
3 colori. Almeno una pallina per colore e’ presente.
Due palline vengono estratte a caso. Sapendo che la probabilita’ che le
2 palline estratte siano dello stesso colore, o di colore diverso e’ la
stessa, determinare il numero di palline di ciascun colore presenti
nell’urna. Consideriamo i seguenti casi:

a) La prima pallina estratta e’ rimessa nell’urna prima di estrarre la
seconda.
b) La prima pallina estratta e’ rimessa nell’urna e, in piu’, ne viene
aggiunta una dello stesso colore, prima di estrarre la seconda.
c) Come i casi a) e b), ma nell’urna sono presenti palline di k colori.
k=4,5,…?

Nel paese di Vatteallapesca, ogni mese si tiene il mercato delle oche.
La piazzetta del mercato e’ un quadrilatero che, per l’occasione viene
transennata in questo modo:
Dopo aver recintato il perimetro con transenne da un metro, dal palo
dell’illuminazione, all’interno del quadrilatero, partono 4 divisori,
sempre formati con transenne da un metro, che si congiungono con i
quattro angoli della piazza. In questo modo vengono a formarsi 4 zone
triangolari. I moduli da un metro sono in linea retta e non sovrapposti.
In 3 delle 4 zone triangolari, ci sono le oche, l’usanza e’ di mettere
tante oche in ciascun triangolo quante sono le transenne del suo
perimetro, perche’ in questo modo c’e’ esattamente un’oca per metro
quadrato. Nel quarto settore ci sono venditori e compratori presi dai
loro affari.
Quanto vale l’area della piazzetta ??

Di un pentagono convesso ABCDEFG non necessariamente regolare, si sa che
i triangoli ABC, BCD, CDE, DEA, EAB hanno tutti l’area = 1.
Qual e’ l’area del pentagono ?

6 5 4 3 2 1
x x x x x x  

6 lampadine sono allineate su un piccolo pannello. Sotto a ciascuna
lampadina e’ assemblato un interruttore x, che agisce solo sulla
lampadina corrispondente. Un circuito elettronico condiziona l’azione
degli interruttori nel modo seguente:
L’interruttore n e’ attivo sulla propria lampadina solo quando la
lampadina n-1 e’ accesa, e tutte le altre lampadine meno significative
(alla destra) sono spente. Altrimenti l’azione dell’interruttore e’
disattivata.
La lampadina 1 puo’ essere sempre azionata.
Se A sta per accesa e S per spenta ecco alcuni es:

6 5 4 3 2 1
    A S S S  

In questa condizione e’ attivo solo l’interruttore sulla lampadina 5 (oltre la 1). Lo stato della num. 6 e’
ininfluente.

6 5 4 3 2 1  
A S A A S S

In questo caso si puo’ agire solo sulla lampadina 4. (oltre la uno che e’ sempre attiva)
Se all’inizio le lampadine sono spente, quante volte dobbiamo azionare
gli interruttori per accenderle tutte ?
Quante “mosse” occorreranno per n lampadine ?

Prendiamo un intero A, aggiungiamo la somma delle sue cifre per ottenere
B, aggiungiamo a B, la somma delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero puo’ essere A?
Es per A=12
12+1+2 = 15
15+1+5 = 21
inversione di 21 = 12.
Cerca altri possibili valori di A.