Da bambino ricevetti un bellissimo regalo da un mio zio falegname, una
serie di 12 cubi di legno di dimensioni differenti, con i lati di cm.
1,2,3…….11,12. Per rendere la serie piu’ allegra e stimolante
dipinsi ciascun cubo con un colore differente. Ricordo di essermi
divertito parecchio nel manipolare e pesare questi cubi.
Ora ho ritrovato un mio vecchio quaderno con alcune annotazioni
riguardanti il loro peso:
a) Giallo+Nero = Oro+Smeraldo.
b) Porpora = Rosso+Argento+Viola
c) Nero+Celeste+Viola+Porpora =
Smeraldo+Oro+Indaco+Argento+Bianco+Giallo
d) Oro = Indaco+Porpora+Giallo
Mi piacerebbe riprodurli nella colorazione originale. Quale era ??

Su una scacchiera 4 x n sono posizionati gli 8 pezzi bianchi degli
scacchi in modo tale che ogni casella rimasta libera e’ dominata da
almeno 1 pezzo. (Gli alfieri sono su colori differenti)
Determinare il massimo valore di n per cui cio’ e’ possibile.

322
3011
 0 3

Nelle 9 caselle ho compattato il set di domino 0-0…3-3 (4 simboli).
Difatti prendendo dalla figura tutte le possibili coppie ortogonali
ottengo 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-1, 1-2, 1-3, 2-2, 2-3, 3-3, vale a dire le
10 tessere che compongono tale set. Dato che il gioco completo e’
formato da 20 quadretti unitari, ho ottenuto un rapporto di compressione
pari a 20/9.
Generalizzando, un intero set di domino con k simboli sara’ formato da
k*(k+1) quadretti unitari.
Qual e’ il massimo rapporto di compressione ottenibile per un set di k
simboli ?? k=5,6,7,8,9,10…

Alle finali dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici tenutesi
a Milano il 15 Maggio, c’erano alcuni problemi interessanti. Comincio
col proporre il num.7:

Anna Maria possiede 3 scatole che contengono rispettivamente 576, 212 e
211 biglie. la sola operazione autorizzata, per modificare questi numeri
e’ di prendere una biglia da ciascuna delle due scatole per metterle
nella terza. Anna Maria vuole rendere la sua ripartizione la piu’
omogenea possibile.
In quante operazioni, al minimo, puo’ raggiungere questo risultato?

(NB Per ripartizione piu’ omogenea possibile si intende quella per cui
la somma delle differenze (positive) dei contenuti delle scatole, prese
a due a due, e’ la piu’ piccola possibile)

Abbiamo gia’ trattato problemi riguardanti travasi di liquidi, ed anche
visto che i primi riferimenti a questo genere di enigma risalgono al
1300.

Proviamo con questo.
Si hanno 3 contenitori, di 7 e 12 litri vuoti i primi due, ed un terzo
pieno di acqua della capacita’ di x litri.
Lo scopo e’ di operare una serie di travasi finendo con 1 litro in
ciascuno dei 2 contenitori inizialmente vuoti. In qualsiasi momento e’
possibile gettare il liquido vuotando un contenitore, liquido che non
puo’ piu’ essere recuperato.
Provate prima con x = 21 e x = 23. Poi, per i piu’ temerari x = 22.

Ecco un bel campo di indagine.
Segno su una circonferenza 13 punti equidistanti, e considero come
distanza unitaria l’arco che unisce due punti adiacenti. Etichetto i
punti da 0 a 12 diciamo in senso orario.
Ora desidero scegliere un numero minimo di punti in modo tale che le
distanze ottenete da ciascun paio di questi punti siano tutte diverse e
tutte quelle possibili, cioe’ da 1 a 12.
Facciamo un po’ di conti:
n punti scelti producono n*(n-1)/2 coppie.
Ciascuna coppia di punti genera 2 distanze, visto che divide la
circonferenza in 2 parti, ci sono percio’ d=n*(n-1) distanze.
Allora la circonferenza e’ originariamante divisa in d+1=N punti.
Nel nostro caso abbiamo N=13, d=12, n=4. Difatti scegliendo i punti
0,1,4,6 abbiamo:

coppia  distanza
0,1     1,12
0,4     4,9
0,6     6,7
1,4     3,10
1,6     5,8
4,6     2,11 

Abbiamo cosi’ ottenuto un regolo circolare con 4 tacche che ci consente
di misurare tutte le distanze da 1 a 12, Chiamiamolo RCP (Regolo
Circolare Perfetto)

Ecco alcune domande:
Per quali N esiste un RCP.
Quante differenti soluzioni ci sono per un dato N ?
Prova intanto a selezionare 6 tacche su 31 (4 soluzioni)

Ho a disposizione i primi 1989 interi = {1,2,3,….,1988,1989}.
Da questi, desidero estrarre un subset di numeri S tale che, per ogni
coppia di membri appartenenti ad S, la differenza non sia 4 o 7.
Qual e’ l’S col massimo numero di elementi ??

Molti anni fa, quando una lira rappresentava qualcosa, mio nonno Alfonso
chiese in prestito ad una banca una somma “C” di denaro ad interesse
semplice “r” . Passati alcuni anni “t” pago’ il proprio debito
diventato di lire 204,13.
Determinare C,r,t sapendo che sono tutti interi.

In una scuola di teatro ci sono n attori. Quando alcuni attori recitano
sul palco, i restanti fungono da spettatori.
Quante recite occorrono perche’ ciascun attore veda recitare almeno una
volta tutti gli altri ??

E’ chiaro che e’ sempre possibile in n recite, basta che ci sia un solo
spettatore per volta a turno.
Ho visto pero’ che si puo’ fare meglio. Ad es. con n=5 e’ facile
riuscirci in 4 recite:
Numerando gli attori da 1 a 5

Palco   Platea
345     12
125     34
14      352
23      541 

C’e’ un metodo generale ??
Quali sono i migliori risultati per 2<15 ??

Un’astronauta vede esattamente 1/3 della superficie terrestre.
A che altezza sta orbitando ??