Sono dati 4 punti in 3D, non tutti sullo stesso piano.

Quanti piani P ci sono tali che le distanze fra P ed i 4 punti sia la stessa ?

Non so se ci sia una semplice spiegazione a questo fatto, ma prendendo il triangolo di Tartaglia (sono campanilista) Mod 2

                      1
                     1 1
                    1 0 1
                   1 1 1 1
                  1 0 0 0 1
                 1 1 0 0 1 1
                1 0 1 0 1 0 1
               1 1 1 1 1 1 1 1
              1 0 0 0 0 0 0 0 1
             ...................               

Possiamo leggere per righe e in binario i numeri:

1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, …

Che, come provato da Gauss, sono gli unici poligoni regolari, con un numero di lati dispari, a poter essere costruiti con riga e compasso.

A pagina 145 della sua “Encyclopedia of Improptu Magic”, Martin Gardner fa cenno a questo gioco a due.

31 Game Il giocatore “A” piazza un dado sul tavolo col numero della faccia superiore a suo piacimento.

A turno i due giocatori (ora sta a “B”) ruotano il dado di un quarto, ed ogni volta il valore della faccia superiore viene sommata al precedente totale.

Il primo giocatore che totalizza 31, o forza l’avversario a sballare, vince.

Dice che il primo giocatore ha una strategia vincente, ma non scende in particolari.

Voglio tagliare una scacchiera 8×7 in pezzi lungo le linee ortogonali.

I pezzi possono essere composti da 1,2,3,4,5 caselle, a piacere.

Lo scopo e’ di minimizzare la lunghezza totale dei tagli.

Per ottenere, ad es. 56 caselle singole il taglio sarebbe di 6×8+7×7=97 unita’, ma questa e’ la lunghezza massima.

Questo e’ piu’ impegnativo dei precedenti.

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|1|_|_|_|_|2|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|x|x|_|_|
|_|_|x|x|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|3|       

Il pastore (pedina 3) deve portare le due pecore (pedine 1 e 2) all’interno del recinto (le 4 caselle segnate x).

Il pastore si muove come la torre. Le pecore come alfieri.

Il movimento resta lo stesso, presa una direzione ci si ferma o al bordo della scacchiera o contro un altro pezzo.

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|1|_|_|_|_|_|2|
|_|_|_|_|_|3|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|4|_|_|_|5|_|
|6|_|_|_|_|_|7|               

Usando sempre il movimento “banana” portare la pedina 1 nella casella centrale.

Il campo e’ un 4×4, con 4 pedine ai 4 angoli.

Portarle nelle quattro caselle interne.

Quante mosse ?

Da alcuni anni circolano alcuni rompicapo che si basano sul movimento detto “banana”. In pratica si gioca su uno scacchiere nxm con alcune pedine gia’ sistemate in partenza.

Lo scopo e’ portare una pedina in una data casella.

Le pedine si muovono come la torre degli scacchi, ma la pedina mossa non puo’ fermarsi a piacimento, ma deve percorrere l’intera riga o colonna fino a fermarsi o contro un’altra pedina o contro il bordo della scacchiera.

Faccio un semplice esempio. Su una scacchiera 3×3 sono posizionate 3 pedine. Portarne una nella casella centrale.

1 - -
- - -
2 - 3

Come notazione utilizzo A=Alto, B=Basso, D=Destra, S=Sinistra

Porto la pedina 1 verso destra, poi verso il basso fino a fermarla sopra la 3, allora scrivo 1DB, poi 3SASBD. In tutto 7 mosse.



Ecco il problema: Su una scacchiera 5×5, 4 pedine sono collocate ai 4 angoli.

Portarne una sulla casella centrale.

Naturalmente la soluzione migliore e’ quella che impiega meno mosse.

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     |         |
     |         |
     |         |
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Questo grafo ha le due proprieta’ seguenti:

1) Se due vertici sono connessi, non hanno punti vicini in comune.

2) Se due vertici non sono connessi, hanno esattamente due punti vicini in comune.

Per punti vicini, intendo direttamente collegati da un arco.

Trovare un grafo con piu’ di 4 vertici che rispetta le due suddette proprieta’.

In una lotteria vengono estratti 6 numeri su un totale di N.

Qual e’ il minimo valore di N per cui la probabilita’ che nella sestina estratta ci siano 2 numeri consecutivi, sia inferiore al 50% ?