Ci sono 10 numeri primi < 3000 in progressione aritmetica.

Qual e’ il piu’ piccolo quadrato che incomincia con sei “2”?

Questa e’ una moltiplicazione sandwich: 41096 x 83

difatti il risultato si ottiene mettendo le unita’ e le decine, del numero a due cifre, rispettivamente a sinistra e a destra del moltiplicando.

41096 x 83 = 3410968.

Trova altre 2 moltiplicazioni sandwich.

16 e’ un numero Semi-1, difatti meta’ dei naturali fino a 16 incluso, contengono la cifra “1” e meta’ no.
Elencandoli:

Contengono la cifra “1” = 1,10,11,12,13,14,15,16.

Non contengono l’ “1” = 2,3,4,5,6,7,8,9.

Il piu’ piccolo semi-1 e’ evidentemente il 2.

Quanti e quali sono i Semi-1 ?

Generalizzando si puo’ estendere ai Semi-2, Semi-3,…,Semi-9 La scatola da scarpe 06/12/2001

        _________B
      /|        /|
     / |       / |
    /  |      /  |
   /   |____ /   |
  /   /     /    /
A/___/_____/    /
 |         |   /
 |         |  /
 |         | /
 |_________|/

Il disegno rappresenta una scatola da scarpe senza il coperchio.

Il ragnetto Joe desidera andare dal vertice A al vertice B percorrendo il tratto piu’ breve. Facendo un po` di conti, si accorge che puo` scegliere indifferentemente fra 5 percorsi di egual lunghezza.

La scatola e` alta 8 cm, quanto misura in larghezza e lunghezza?

Si scelgono 2 interi a caso. Chiamiamoli A e B, con A
Ora si selezionano, sempre a caso, 2 differenti interi compresi fra A e B (inclusi).

La somma di questi ultimi 2 numeri, e’ piu’ facile sia pari oppure dispari?

Il mago fa scrivere un numero casuale di dieci cifre sulla lavagna.

Il mago, dopo aver chiuso in una busta una sua previsione, da’ le seguenti istruzioni allo spettatore.

Sotto ciascuna coppia di cifre scrivi il loro residuo modulo 9 (basta sommarle fino a far rimanere una sola cifra come si fa appunto con la prova del 9) ottenendo cosi’ un secondo numero di 9 cifre.

Ripeti l’operazione per altre 8 volte, in modo da ricavare una unica cifra finale, Se ad es il numero originario fosse 5743182978 la procedura porterebbe al seguente triangolo:

5 7 4 3 1 8 2 9 7 8
 3 2 7 4 9 1 2 7 6
  5 9 2 4 1 3 9 4
   5 2 6 5 4 3 4
    7 8 2 9 7 7
     6 1 2 7 5
      7 3 9 3
       1 3 3
        4 6
         1    

La busta viene aperta e la previsione del mago si rivela esatta. Nel nostro caso indovina la cifra “1”.



Come fa?

X e’ un intero tale che quando e’ moltiplicato per 18 e per 19, i due risultati sono formati dalle stesse cifre invertite (tipo ab..cde, edc..ba)

Tempo addietro, tentando di sistemare gli interi consecutivi da 1 a N attorno ad una circonferenza in modo che la somma di 2 vicini fosse sempre un quadrato, avemmo modo di provare che il minimo N e’ = 32.

Lo stesso problema con i numeri su una linea, invece che ad anello, e’ risolvibile con un N piu’ piccolo.
Quale ?

Tempo addietro, tentando di sistemare gli interi consecutivi da 1 a N
attorno ad una circonferenza in modo che la somma di 2 vicini fosse sempre
un quadrato, avemmo modo di provare che il minimo N e’ = 32.

Lo stesso problema con i numeri su una linea, invece che ad anello, e’
risolvibile con un N piu’ piccolo.
Quale ?

Una somma NIM (detto anche valore di Sprague-Grundy) e’ la somma di alcuni numeri, espressi in notazione binaria,
“half-added”, cioe’ senza riporto ed e’ utilizzata per verificare la parita’ di una posizione NIM.

Ad es.
101001+
111011=
--------
010010

Come si vede una colonna dara’ somma 1, solo se risultano, nella stessa colonna, un numero dispari di segni “1”.

Sistemare gli interi da 0 a 15 in un quadrato 4×4, in modo che, esprimendo i numeri in notazione binaria,
le quattro righe, le quattro colonne, le 2 diagonali principali e le 6 diagonali spezzate abbiano tutte somma NIM = 0.