Questo problema concerne la costruzione di interi positivi.

Un nuovo intero puo’ essere generato dal precedente
utilizzando una qualunque di queste tre operazioni:



a) Aggiungo uno zero alla fine (moltiplicazione per 10).

b) Aggiungo un 4 alla fine (moltiplico per 10 poi aggiungo 4).

c) Divido a meta’ se il numero e’ pari.



Partendo dal numero 4, e’ possibile generare tutti gli
interi?



ES. posso ottenere il num.3 applicando cbccc =
4,2,24,12,6,3.

Un normale dado viene lanciato n volte. La stringa dei
risultati viene divisa in gruppi, dove ogni gruppo contiene
numeri crescenti, in altre parole n < (n+1) < (n+2).. fanno parte dello stesso gruppo.

Es. Se il risultato di 10 lanci fosse = 3,2,3,5,1,6,6,1,3,5,
allora si conterebbero 5 gruppi:

(3) (2,3,5) (1,6) (6) (1,3,5).

Se il procedimento e’ ripetuto molte volte, quanti gruppi
mediamente ci si aspetta di ottenere in funzione di n ??

Ogni nodo di una griglia rettangolare mxn e’ marcato con un
intero positivo chiamato peso.

Il costo di un percorso che attraversa la griglia e’ uguale
alla somma dei pesi dei nodi toccati.

Dovendo andare dall’angolo in basso a sinistra all’angolo in
alto a destra del nostro rettangolo, e’ evidente che, se
tutti i nodi hanno lo stesso peso, i costi dei percorsi
minimi (cioe’ senza tornare indietro) sarebbero tutti
uguali. Ad es:

           B
 2  2  2  2
 2  2  2  2
 2  2  2  2
A

In questo rettangolo 3×4 i 10 percorsi minimi (5 passi) che
vanno da A a B, hanno tutti un costo = 12.

Come e’ possibile marcare i nodi di una griglia mxn con pesi
non tutti uguali, in modo tale che tutti i percorsi minimi
abbiano lo stesso costo ?

Leggo a pag.128 del Dictionary of Courious and Interesting
Numbers di D.Wells che 128 (che combinazione!) e’ il piu’
grande intero che non e’ somma di distindi quadrati, in
altre parole tutti i naturali maggiori di 128, possono
essere espressi come somma di quadrati distinti.

Come si puo’ dimostrare ?

Qual e’ il maggior intero positivo non esprimibile come
somma di distinti cubi ?

Una pedina e’ piazzata nell’angolo in basso a sinistra di
una scacchiera n * (n+1).

La pedina comincia il suo giro, muovendo di una casella alla volta in diagonale, direzione alto-destra, finche’ non incontra un bordo.

A questo punto la pedina “rimbalza” facendo una curva ad angolo retto, e continua ad avanzare di una casella alla volta, rimbalzando
come una palla da biliardo ogni volta che incontra un bordo, finche’ non finisce in un angolo.

Di quante mosse e’ composto il giro della pedina ??

E’ sempre vero che la somma di n numeri naturali consecutivi e’
divisibile per n?

Michael Reid propone un problema impegnativo.

Trovare una regione di 60 quadrati, copribile con i 12 pentamini,
esattamente in 2001 modi differenti.

Ho organizzato l’archivio dei miei giochi matematici in 3 volumi A, B,
C, le pagine sono numerate sequenzialmente dalla prima pagina di A,
all’ultima di C.

Con SP(x) rappresento la somma della numerazione delle pagine del volume
x, (se ad es. A fosse formato da 50 pagine, risulterebbe SP(A)=1275) ho
notato che:

SP(C) = SP(A)+SP(B)

inoltre SP(A) = al quadrato del numero di pagine presenti nel vol. B.



Di quante pagine sono composti i volumi, sapento che ciascuno ne ha
piu’ di 40 e meno di 300?

Il matematico francese Joseph Liuville, ha scoperto questa curiosa
proprieta’ :

Prendiamo un qualunque intero positivo N. Es. 6

Determiniamo i divisori di N. Nel nostro es. i divisori di 6 sono
(1,2,3,6).

Contiamo ora quanti divisori ha, a sua volta, ciascun divisore di N,
nel nostro caso (1,2,2,4).

Allora la somma dei cubi di questi ultimi numeri e’ uguale al quadrato
della somma dei numeri stessi:

1^3+2^3+2^3+4^3 = (1+2+2+4)^2 = 81



Altro es: N=12

Divisori di 12 = (1,2,3,4,6,12)

numero di divisori dei precedenti = (1,2,2,3,4,6)



1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3 = (1+2+2+3+4+6)^2 = 324.

Perche’ funziona ?

Il gatto Miagolone sta cercando di catturare il topo Furbino che vive in
una di 17 cavita’.

Le cavita’ sono unite da un’unica galleria rettilinea che le collega tutte.

Miagolone sa che Furbino ogni giorno si sposta in una cavita’ adiacente
a suo piacimento, se ad es. un dato giorno sta nella cavita’ num 10, il
giorno dopo si sposta nella 9 o nella 11.

Miagolone ogni giorno riesce a controllare solo 2 cavita’, e’ evidente
che visitando le cavita’ (1,2) ( 2,3) (3,4)……(16,17) gli riuscira’
di localizzare il topo in un massimo di 16 giorni, ma questa non e’ la
strategia migliore.

Mettiti nei panni di Miagolone, in quanti giorni riusciresti
nell’impresa ??