Ho piegato un foglio di carta rettangolare 9×12 in modo da far
coincidere 2 vertici opposti.
Quanto e’ lunga la piega ?

Quanto vale la somma
1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n(n+1) ?

La gelateria sotto casa mia, vende ghiaccioli di 11 gusti differenti.
Dovendone comprare 6 da portare ai miei cuginetti, mi chiedo in quanti
modi diversi li posso scegliere, se i ghiaccioli acquistati non sono
necessariamente di gusti differenti.

Se scrivo gli interi da 1 a 10.000.000.000, sono di piu’ quelli che
contengono almeno una cifra “1” oppure gli altri ?

Mario, contando i suoi animali: cavalli, mucche e galline, si e’ accorto
di possedere un numero primo differente per ciascuna specie. Dice,
inoltre che se moltiplica il numero dei suoi cavalli per la somma dei
cavalli piu’ le mucche, ottiene un numero che e’ 120 volte le sue
galline.
Quanti animali di ciascuna specie possiede Mario?

Diciamo che f(n) e’ il numero di modi di rappresentare n come somma di
due o piu’ primi consecutivi.
Ad es:
2+3 = 5
2+3+5+7+11+13 = 41
11+13+17 = 41
Cosi’ f(5)=1 e f(41)=2.
Qual e’ il piu’ piccolo n con f(n)=k ? k= 3,4,5…..

Se iteriamo il processo di sommare i quadrati delle cifre di un numero
naturale, otteniamo un ciclo oppure finiamo con “1”.
Es. iniziamo con 4. 4^2=16, 1^2+6^2=37, 3^2+7^4=58….. si finisce
nel ciclo
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4.
Es. iniziamo con 7.
7, 49, 97, 130, 10, 1.
I numeri che generano sequenze che terminano in “1” sono noti come
Numeri Felici (NF).
Cerca k NF consecutivi. k= 2,3,4,5…

E’ possibile ottenere tutti i numeri interi da 1 a 36 staccando uno o
piu’ francobolli da un foglio rettangolare di due francobolli per tre,
portanti i valori 1,2,3,5,8,17 e sommando questi valori.
I valori restanti devono pero’ formare sempre un “pezzo” solo (devono
cioe’ rimanere attaccati almeno per un lato).
Potete ricostruire questo foglio di francobolli ?
L’esempio della figura non va bene in quanto e’ impossibile ottenere le
somme 7,10,12,15,24,27 e 32.

|¯¯¯¯|¯¯¯¯|¯¯¯¯|
|  1 |  2 |  3 |
|____|____|____|
|    |    |    | 
|  5 |  8 | 17 |
|____|____|____| 

Aldo, Bruno e Carlo si sottopongono alla stessa serie di esami.
Per ciascun esame, al migliore dei tre vengono assegnati x punti, al
secondo y punti, all’ultimo z punti. Dove x,y,z sono distinti interi
positivi.
Il totale dei punti ottenuti sono:

Aldo   20
Bruno  10
Carlo   9 

Sapendo che Bruno si e’ piazzato primo nell’esame di algebra, chi si e’
piazzato secondo nell’esame di geometria?

    A
     /
    /   
   /_____ 
  /|        | 
 / |        |     
/  |        |       
---|-------|-----------
B                       C 

ABC e’ un triangolo pitagorico, rettangolo in A, e con i lati interi.
Il quadrato inscritto, con un lato sull’ipotenusa, ha a sua volta il
lato intero.
Qual e’ il piu’ piccolo quadrato con queste caratteristiche ?