Il mago fa scrivere un numero casuale di dieci cifre sulla lavagna.

Il mago, dopo aver chiuso in una busta una sua previsione, da’ le seguenti istruzioni allo spettatore.

Sotto ciascuna coppia di cifre scrivi il loro residuo modulo 9 (basta sommarle fino a far rimanere una sola cifra come si fa appunto con la prova del 9) ottenendo cosi’ un secondo numero di 9 cifre.

Ripeti l’operazione per altre 8 volte, in modo da ricavare una unica cifra finale, Se ad es il numero originario fosse 5743182978 la procedura porterebbe al seguente triangolo:

5 7 4 3 1 8 2 9 7 8
 3 2 7 4 9 1 2 7 6
  5 9 2 4 1 3 9 4
   5 2 6 5 4 3 4
    7 8 2 9 7 7
     6 1 2 7 5
      7 3 9 3
       1 3 3
        4 6
         1    

La busta viene aperta e la previsione del mago si rivela esatta. Nel nostro caso indovina la cifra “1”.



Come fa?

X e’ un intero tale che quando e’ moltiplicato per 18 e per 19, i due risultati sono formati dalle stesse cifre invertite (tipo ab..cde, edc..ba)

Tempo addietro, tentando di sistemare gli interi consecutivi da 1 a N attorno ad una circonferenza in modo che la somma di 2 vicini fosse sempre un quadrato, avemmo modo di provare che il minimo N e’ = 32.

Lo stesso problema con i numeri su una linea, invece che ad anello, e’ risolvibile con un N piu’ piccolo.
Quale ?

Tempo addietro, tentando di sistemare gli interi consecutivi da 1 a N
attorno ad una circonferenza in modo che la somma di 2 vicini fosse sempre
un quadrato, avemmo modo di provare che il minimo N e’ = 32.

Lo stesso problema con i numeri su una linea, invece che ad anello, e’
risolvibile con un N piu’ piccolo.
Quale ?

Una somma NIM (detto anche valore di Sprague-Grundy) e’ la somma di alcuni numeri, espressi in notazione binaria,
“half-added”, cioe’ senza riporto ed e’ utilizzata per verificare la parita’ di una posizione NIM.

Ad es.
101001+
111011=
--------
010010

Come si vede una colonna dara’ somma 1, solo se risultano, nella stessa colonna, un numero dispari di segni “1”.

Sistemare gli interi da 0 a 15 in un quadrato 4×4, in modo che, esprimendo i numeri in notazione binaria,
le quattro righe, le quattro colonne, le 2 diagonali principali e le 6 diagonali spezzate abbiano tutte somma NIM = 0.

Sto leggendo “La storia della Teoria dei Numeri”.

La somma di tutti i numeri delle pagine ancora da leggere risulta = 15.000.



Quale pagina sto girando ?

L’uomo ricevette una lettera anonima con l’invito di recarsi al cimitero locale a mezzanotte.

Di solito non prestava attenzione a queste cose, ma quella volta obbedi’ per curiosita’.

Era una notte silenziosa, rischiarata da una sottile falce di luna crescente.

L’uomo si sistemo’ davanti alla cripta di famiglia e attese, quando improvvisamente senti’ dei passi. “Chi va la'” urlo’, ma nessuno rispose.

La mattina dopo il custode trovo’ l’uomo morto davanti alla cripta con il volto contratto da una smorfia di terrore.



L’uomo aveva votato per Theodore Roosvelt alle elezioni presidenziali del 1904 ??

1) Ci sono almeno 2 bambini.

2) Ciascun bambino ha assaggiato almeno 3 torte.

3) Per ogni 2 bambini, c’e’ esattamente 1 torta che e’ stata assaggiata da entrambi.

4) Per ogni 2 torte, c’e’ almeno 1 bambino che le ha assaggiate entrambe.

5) Un bambino ha assaggiato 6 torte.



Quanti bambini e quante torte ci sono ?

In ciascuna casella di una scacchiera 10×10, e’ posto un numero scelto fra
-1, 0, +1.
E’ possibile trovare una disposizione per cui le 20 addizioni,
calcolate sulle 10 righe e sulle 10 colonne, diano tutte somme differenti?

Vorrei eliminare un certo numero di caselle da una normale scacchiera per
ottenere che:

a) Sulle caselle rimaste non sia possibile collocare un domino (in altre
parole, non ci devono essere 2 caselle adiacenti).

b) Il ripristino di una qualunque delle caselle eliminate, neghi il caso
a). (in altre parole, aggiungendo una delle caselle eliminate sia
possibile collocare un domino).

Si vede subito che il numero MINIMO di caselle da eliminare e’ 32, ad es.
tutte le bianche.

Qual e’ il MASSIMO ?