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Planets

Giove 10 dicembre 2010

Prima volta che provo questo sito, siamo a circa 650 mt slm.
Serata molto tersa, vento gelido a -3 °C. All’oculare risalta male la grs e l’ovale, immagine spesso sfocata e rovinata dal vento.
Per questo motivo le immagini sono state rimpicciolite del 70% rispetto alla focale di ripresa.
Image data:
Date: 10 Dic. 2010
Location: Medelana (BO)
Telescope: E-Newton
Guide: Unguided
Camera: DMK31
Exposure: Filmati rgb di 33s 15 fps in formato avi
Processing: IRIS, Adobe Photoshop

Planets

Giove 10 ottobre 2010

Serata particolare, seeing molto buono (secondo i canoni della zona).
Buona trasparenza, parecchia foschia sopra la pianura, ma per fortuna i 700 metri del sito erano sopra il mare lattiginoso.
All’oculare è stata molto interessare questa nuova condizione di stabilità atmosferica.
70X, 120X, 240X, 350X fino a 600X.
A occhio c’era qualcosa in più del solito, le deformazioni sulla geometria dell’immagine erano più piccole.
Meno deformazioni, ma sulla nitidezza non mi è sembrato molto meglio. In realtà ripensandoci successivamente all’elaborazione mi è sembrato proprio strano.
All’oculare era leggermente migliore, ma l’elaborato era assolutamente migliore al solito… come mai?
Probabilmente la causa è data dai venti di bassissima quota. Generalmente l’immagine ha una sfocatura costante che, anche nei momenti migliori, non permette una messa a fuoco perfetta. Stasera si.
Veramente bello lavorare in queste condizioni.
Image data:
Date: 10 Ott. 2010
Location: Medelana (BO)
Telescope: E-Newton
Guide: Unguided
Camera: Philips Toucam Pro 740K
Exposure: Filmati di 100s 10/15 fps in formato avi
Processing: IRIS, Neat, Adobe Photoshop

Ludomatematica

Periodici contenenti articoli, giochi e problemi di carattere matematico presenti nella raccolta

SAPERE
La famosa rivista quindicinale edita da Ulrico Hoepli dal gennaio 1935.
Fin dal primo numero veniva proposto un concorso a premi . S’incontrano mediamente 4-6 problemi per numero. Moltissime costruzioni geometriche.
Dal 1935 al 1959. Per un totale di 1342 problemi.

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CONTROMOSSA

Il mensile di scacchi dell’Arci, che dal 1983 ha ampliato gli argomenti diventando rivista di giochi, avvalendosi della collaborazione di noti “giocologi” come Sebastiano Izzo, Ennio Peres, Piero Zama…
Dal gennaio 1983 ha ospitato la rubrica fissa “Il cubo e dintorni” curata dal nostro amico Giovanni Ravesi, dedicata principalmente al cubo di Rubik il grande boom di quegli anni, affiancata poi da “Topologia e Rompicapo” sempre curata da Ravesi.
Altra rubrica fissa era “Matematicamente Logico” . Problemi ludico-matematici proposti da Dario de Toffoli.
Dal gennaio 1983 al Maggio 1986, quando ha cessato le pubblicazioni. Sono in tutto 31 numeri.

Topologia & Rompicapo  –  Giovanni Ravesi

Matematicamente  Logico  –  Dario De Toffoli

 

RUBIK’S logic & fantasy in space

Un trimestrale edito direttamente da Erno Rubik. Problemi matematici in generale, giochi topologici in particolare.
Anni 1982 e 1983. Otto numeri in tutto. Non sono sicuro che non ci siano altri numeri dopo il 4/83.

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GAMES & PUZZLES

Rivista iniziata nel Maggio 1972 dalla inglese Edu-Games. Con uscita mensile tratta di giochi in generale: matematici, ruolo, tavoliere…ecc.
Cessata nel 1981?. C’e’ stato un tentativo di rilancio nel 1994 da parte di Paul Lamford,con un’ulteriore uscita di una dozzina di numeri.
Prima edizione Dal num. 1 (maggio’72) al num. 68 (marzo ’78). Mancanti: 12,16,22,23,29,30,31,34,36,49,55,56,57,62,63,65,66,67.
Seconda edizione Dal num. 1 al num 12.
La prima ed. contiene “Puzzle Pages” una rubrica curata dal noto David Wells. Vedi lista dei libri.
Nella seconda c’e’ un regolare contributo di David Singmaster “The Puzzle Box”.

Sono alla ricerca dei numeri che mi mancano.

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PERGIOCO rivista di giochi “intelligenti” per adulti

Inizia nell’ottobre 1980 e cessa nel luglio 1984.
Mensile che tratta di giochi in generale. Tra l’altro troviamo vari articoli sulla storia di alcune questioni di matematica dilettevole di Raffaele Rinaldi e l’appuntamento fisso sui risultati via via ottenuti circa il cubo di Rubik, curato da Paolo Zandonella Necca
Ottobre 1980 – Luglio 1984. 42 numeri.

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GIOCHI MAGAZINE

Mensile di giochi in generale con un paio di pagine intitolate “Giochi Logici e Matematici”.
Dal Maggio 1987 al Marzo 1988. 11 numeri.

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WORLD GAME REVIEW

Fanzine confezionata e distribuita da Michael Keller. Indirizzandosi agli appassionati del settore, Keller tratta gli argomenti in modo completo.
Poliforme, Varianti di scacchi, Crittologia ecc..
Dal nov. 1983 al gen.1994 12 numeri.

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CUBIC CIRCULAR

Fanzine trimestrale pubblicata da David Singmaster. Cubo di Rubik e puzzles simili.
8 numeri dal 1981 al 1985.

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CUBISM FOR FUN

Nata in olanda nel 1981 come NKC (Nedelandse Kubus Club) per lo studio del cubo di Rubik.
Dal num. 10 (1986) e’ pubblicata in lingua inglese, diventando il punto di riferimento internazionale per gli entusiasti di puzzles topologici e meccanici.
Gli articoli sono inviati dagli stessi lettori, e devo dire che le descrizioni, le analisi e le discussioni intorno a giochi vecchi e nuovi sono tutte ad altissimo livello.
Altamente raccomandato a tutti quelli che vogliono tenersi aggiornati su poliforme, rompicapo ad incastro, puzzles rotazionali, blocchi scorrevoli… ecc.
Quadrimestrale. 

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JOURNAL OF RECREATIONAL MATHEMATICS

Joseph Madachy da 1961 al 1964 pubblico’ il Recreational Mathematics Magazine,

ricevendo molti incoraggiamenti ed esortazioni a continuare, fece rinascere il progetto sotto questo nome,  inizia nel  gennaio 1968 il JRM esce  4 volte ogni anno.
E’ una rivista di 60/70 pagine, con una dozzina di articoli di matematica ricreativa evoluta. Nella sezione Problems and Conjectures, vengono proposti problemi originali, una dozzina per numero. E’ senza dubbio il top, con contributi dei piu’ famosi metagrobologi del mondo. Purtroppo cessa nel 2014 dopo 40 anni di onorato servizio.

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LE SCIENZE

La famosa traduzione dello Scientific American con le colonne di Martin Gardner.
Iniziata nel 1968 

Lista degli argomenti

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EL ACERTIJO la revista de los juegos de ingenio

Pubblicata dal gruppo argentino. Venti pagine colme di enigmi per la maggior parte originali.
Dal numero 1 (giugno 1992) al numero 25 (maggio 1997). Un vero peccato non abbiano potuto continuare.

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PUZZLE FUN

La fanzine confezionata e distribuita da Rodolfo Marcelo Kurchan di Buenos Aires. Destinata esclusivamente a chi si interessa di poliforme.
Iniziata nell’ottobre 1994 a tutt’oggi esistono 31 numeri. 

Planets

Giove 22 Settembre 2010

Sono andato a cercare un posto meno turbolento vicino a casa e sorpresa! L’ho trovato. A pochi Km c’è una bella piazzola leggermente sopraelevata e protetta dalla vegetazione che fa al caso mio.
All’oculare il pianeta si presenta meno ballerino del solito anche se i particolari sono decisamente paragonabili. La cosa che mi piace di più sono gli ovali che sembrano più definiti, molto bella la GRS anche se sta tarmontando. Mi pare più arancione rispetto a come la vedo solitamente. Provo con un filtro arancione e si stacca deciamente meglio. La NEB mostra una importante turbolenza che la taglia in diagonale, richiama un po la forma della saetta.
Ma è tardi ed è ora di montare la camera.
Image data:
Date: 22 Set. 2010
Location: Monte Capra (BO)
Telescope: E-Newton
Guide: Unguided
Camera: Philips Toucam Pro 740K
Exposure: Filmati di 100s 10fps in formato avi
Processing: IRIS, Neat, Adobe Photoshop

Planets

Giove 16 Luglio 2010

Il seeing tiene botta e la serata è proprio interessante. Molto bello il passaggio di Io sul disco del pianeta. Colori come la serata precedente, dettagli paragonabili.
Image data:
Date: 16 Lug. 2010
Location: Orto Obs.
Telescope: E-Newton
Guide: Unguided
Camera: Philips Toucam Pro 740K
Exposure: Filmati di 100s 10fps in formato avi
Processing: IRIS, Neat, Adobe Photoshop

Ludomatematica

Propositiones Alcuini

I. PROPOSITIO DE LIMACE.

Limax fuit ab hierundine invitatus ad prandium infra leucam unam. In die autem non potuit plus, quam unam unicam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot [annis vel] diebus ad idem prandium ipse limax perambulabat?

II. PROPOSITIO DE VIRO AMBULANTE IN VIA.

Quidam vir ambulans per viam vidit sibi alios homines obviantes, et dixit eis: volebam, ut fuissetis alii tantum, quanti estis; et medietas medietatis; et hujus numeri medietas [et rursus de medietate medietas]; tunc una mecum fuissetis. Dicat, qui velit, quanti fuerunt, qui in primis ab illo visi sunt?

III. PROPOSITIO DE DUOBUS PROFICISCENTIBUS.

Duo homines ambulantes per viam, videntesque ciconias, dixerunt inter se: quot sunt? Qui conferentes numerum dixerunt: Si essent aliae tantae; et ter tantae et medietas tertii, adjectis duobus, C essent. Dicat, qui potest, quantae fuerunt, quae inprimis ab illis visae sunt?

IV. PROPOSITIO DE HOMINE ET EQUIS.

Quidam homo vidit equos pascentes in campo, optavit dicens: utinam essetis mei, et essetis alii tantum, et medietas medietatis; certe gloriarer super equos C. Discernat, qui vult, quot equos imprimis vidit ille homo pascentes?

V. PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM.

Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis: duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?

VI. PROPOSITIO DE DUOBUS NEGOTIATORIBUS C SOLIDOS HABENTIBUS.

Fuerunt duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, volentes eos saginare, atque iterum venumdare, et in solidis lucrum facere. Cumque vidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi eos non valuissent tempore hyemali pascere, tentavere venumdando, si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non valebant eos amplius venumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt ad invicem: dividamus eos. Dividentes autem et vendentes, sicut emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui valet, inprimis quot porci fuerunt; et dividat ac vendat et lucrum faciat, quod facere de simul venditis non valuit.

VII. PROPOSITIO DE DISCO PENSANTE LIBRAS XXX.

Est discus qui pensat libras XXX sive solidos DC, habens in se aurum, argentum, auricalchum, et stannum. Quantum habet auri, ter tantum habet argenti. Quantum argenti, ter auricalchi: Quantum auricalchi, ter tantum stanni. Dicat, qui potest, quantum in unaquaque specie pensat?

VIII. PROPOSITIO DE CUPA.

Est cupa una, quae C metretis impletur capientibus singulis modia tria; habens fistulas III. Ex numero modiorum tertia pars et VI per unam fistulam currit: per alteram tertia pars sola: per tertiam sexta tantum. Dicat nunc, qui vult, quot sextarii per unamquamque, fistulam cucurrissent.

IX. PROPOSITIO DE SAGO.

Habeo sagum habentem in longitudine cubitos C, et in latitudine LXXX. Volo exinde per portiones sagulos facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos V, et in latitudine cubitos IIII. Dic, rogo, sapiens, quot saguli exinde fieri possint?

X. PROPOSITIO DE LINTEO.

Habeo linteamen unum longum cubitorum LX, latum cubitorum XL. Volo ex eo portiones facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos senos, et in latitudine quaternos, ut sufficiat ad tunicam consuendam. Dicat, qui vult, quot tunicae exinde fieri possint?

XI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS SORORES ACCIPIENTIBUS.

Si duo homines ad invicem, alter alterius sororem in conjugium sumpserit; dic, rogo, qua propinquitate filii eorum sibi pertineant?

XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS.

Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.

XIII. PROPOSITIO DE REGE.

Quidam rex jussit famulo suo colligere de XXX villis exercitum, eo modo, ut ex unaquaque villa tot homines sumeret, quotquot illuc adduxisset. Ipse tamen ad villam primam solus venit; ad secundam cum altero; jam ad tertiam tres venerunt. Dicat, qui potest, quot homines fuissent collecti de XXX villis.

XIV. PROPOSITIO DE BOVE.

Bos qui tota die arat, quot vestigia faciat in ultima riga?

XV. PROPOSITIO DE HOMINE.

Quaero a te, ut dicas mihi, quot rigas factas habeat homo in agro suo, quando de utroque capite campi tres versuras factas habuerit?

XVI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS BOVES DUCENTIBUS.

Duo homines ducebant boves per viam, e quibus unus alteri dixit: Da mihi boves duos; et habeo tot boves quot et tu habes. At ille ait: Da mihi et tu duos boves, et habeo duplum, quam tu habes. Dicat qui vult, quot boves fuerunt, quot unusquisque habuit.

XVII. PROPOSITIO DE TRIBUS FRATRIBUS SINGULAS HABENTIBUS SORORES.

Tres fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui) qui venientes ad fluvium non invenerunt, nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit?

XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LUPO.

Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit?

XIX. PROPOSITIO DE VIRO ET MULIERE PONDERANTIBUS.

De viro et muliere, quorum uterque pondus habebat plaustri onusti, duos habentes infantes inter utrosque plaustrali pondere pensantes fluvium transire debuerunt. Navem invenerunt, quae non poterat ferre plus, nisi unum pondus plaustri. Transfretari faciat, qui se putat posse, ne navis mergatur.

XX. PROPOSITIO DE HIRTITIIS.

De hirtitiis masculo et femina habentibus duos natos libram ponderantibus, flumen transire volentibus.

XXI. PROPOSITIO DE CAMPO ET OVIBUS IN EO LOCANDIS.

Est campus, qui habet in longitudine pedes CC, et in latitudine pedes C. Volo ibidem mittere oves; sic tamen, ut unaquaeque ovis habet in longo pedes V, et in lato pedes IV. Dicat, rogo, qui valet, quot oves ibidem locari possint?

XXII. PROPOSITIO DE CAMPO FASTIGIOSO.

Est campus fastigiosus, qui habet in uno latere perticas C, et in altero latere perticas C, et in fronte perticas L, et in medio perticas LX, et in altera fronte perticas L. Dicat, qui potest, quot aripennas claudere debet?

XXIII. PROPOSITIO DE CAMPO QUADRANGULO.

Est campus quadrangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXXII, et in fronte perticas XXXIIII, et in altera peticas XXXII. Dicat, qui potest, quot aripenni in eo concludi debent?

XXIV. PROPOSITIO DE CAMPO TRIANGULO.

Est campus triangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXX, et in fronte perticas XVIII. Dicat, qui potest, quot aripennos concludere debet?

XXV. PROPOSITIO DE CAMPO ROTUNDO.

Est campus rotundus, qui habet in giro perticas CCCC. Dic, quot aripennos capere debet?

XXVI. PROPOSITIO DE CURSU CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS. *

Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt.

XXVII. PROPOSITIO DE CIVITATE QUADRANGULA.

Est civitas quadrangula, quae habet in uno latere pedes mille centum; et in alio latere pedes mille; et in fronte pedes DC, et in altera pedes DC. Volo ibidem tecta domorum ponere, sic, ut habeat unaquaeque casa in longitudine pedes XL, et in latitudine pedes XXX. Dicat, qui velit, quot casas capere debet.

XXVIII. PROPOSITIO DE CIVITATE TRIANGULA.

Est civitas triangula, quae in uno habet latere pedes C, et in alio latere pedes C, et in fronte pedes XC, volo enim ibidem aedificia domorum construere, sic tamen, ut unaquaeque domus habeat in longitudine pedes XX, et in latitudine pedes X. Dicat, qui potest, quot domus capi debent?

XXVIIII. PROPOSITIO DE CIVITATE ROTUNDA.

Est civitas rotunda, quae habet in circuitu pedum VIII millia. Dicat, qui potest, quot domos capere debet, ita, ut unaquaeque habeat in longitudine pedes XXX, et in latitudine pedes XX?

XXX. PROPOSITIO DE BASILICA.

Est Basilica, quae habet in longtudine pedes CCXL,et in lato pedes CXX. Laterculi vero stratae ejusdem unus laterculus habet in longitudine uncias XXIII, hoc est, pedem unum et XI uncias. Et in latitudine uncias XII, hoc est, pedem I. Dicat, qui velit, quot laterculi eandem debent implere?

XXXI. PROPOSITIO DE CANAVA.

Est canava, quae habet in longitudine pedes C, et in latitudine pedes LXIIII. Dicat, qui potest, quot cupas capere debet? ita tamen, ut unaquaeque cupa habeat in longitudine pedes VII, et in lato, hoc est in medio pedes IIII, et pervius unus habeat pedes IIII.

XXXII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS.

Quidam Paterfamilias habuit familias XX. Et jussit eis dare de annona modios XX. Sic jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, vel quot infantes esse debent?

XXXIII. PROPOSITO DE ALIO PATREFAMILIAS EROGANTE SUAE FAMILIAE ANNONAM.

Quidam Paterfamilias habuit familias XXX, quibus jussit dari de annona modios XXX. Sic vero jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos et infantes singula semodia. Solvat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, quotve infantes fuerunt?

XXXIV. PROPOSITIO ALIA DE PATREFAMILIAS PARTIENTE FAMILIAE SUAE ANNONAM.

Quidam Paterfamilias habuit familias C, quibus praecepit dare de annona modios C, eo vero tenore, ut viri acciperent modios ternos, mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat ergo, qui valet, quot viri, quot mulieres, aut quot infantes fuerunt?

XXXV. PROPOSITIO DE OBITU CUJUSDAM PATRISFAMILIAS.

Quidam Paterfamilias moriens reliquit infantes, et in facultate sua, solidorum DCCCCLX, et uxorem praegnantem. Qui jussit, ut si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrans, hoc est, uncias VIIII. Et mater ipsius acciperet quadrans, hoc est, uncias III. Si autem filia nata esset, acciperet septunx, hoc est, VII uncias, et mater ipsius acciperet quincunx, hoc est, V uncias. Contigit autem, ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater, et quantum filius, quantumve filia?

XXXVI. PROPOSITIO DE SALUTATIONE CUJUSDAM SENIS AD PUERUM.

Quidam senis salutavit puerum, cui et dixit: Vivas fili, vivas, inquit, quantum vixisti, et aliud tantum, et ter tantum. Addatque tibi Deus unum de annis meis, et impleas annos cantum. Solvat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?

XXXVII. PROPOSITIO DE QUODAM HOMINE VOLENTE AEDIFICARE DOMUM.

Homo quidam volens aedificare domum locavit artifices VI, ex quibus V magistri et unus discipulus erat, et convenit inter eum, qui aedificare volebat, et artifices, ut per singulos dies XXV denarii eis in mercede darentur, sic tamen, ut discipulus medietatem de eo, quod unus ex magistris accipiebat, acciperet. Dicat, qui potest, quantum unusquisque de illis per unamquamque diem accepit?

XXXVIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ANIMALIBUS CENTUM.

Voluit quidam homo emere animalia promiscua C de solidis C, ita ut equus tribus solidis emeretur, bos vero in solido I, et XXIIII oves in sol. I. Dicat, qui valet, quot caballi, vel quot boves, quotve fuerunt oves?

XXXVIIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ORIENTE.

Quidam homo voluit de C solidis animalia promiscua emere C in oriente; qui jussit famulo suo, ut camelum V solidis acciperet; asinum solido I. XX oves in solido compararet. Dicat, qui vult, quot cameli, vel asini, sive oves in negotio C solidorum fuerint?

XL.PROPOSITIO DE HOMINE ET OVIBUS IN MONTE PASCENTIBUS.

Quidam homo vdit de monte oves pascentes, et dixit, utinam haberem tantum, et aliud tantum et medietatem de medietate, et de hac medietate aliam medietatem, atque ego centesimus una cum ipsis ingrederer meam domum. Solvat, qui potest, quot oves vidit ibidem pascentes?

XLI. PROPOSITIO DE SODE ET SCROFA.

Quidam Paterfamilias stabilivit curtem novam [quadrangulam], in qua posuit scrofam, quae peperit porcellos VII in media sode, qui una cum matre, quae octava est, peperunt igitur unusquisque in omni angulo VII. Et ipsa iterum in media sode cum omnibus generatis peperit VII. Dicat, qui vult, una cum matribus quot porci fuerunt?

XLII. PROPOSITIO DE SCALA HABENTE GRADUS CENTUM.

Est scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una: in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V. Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot columbae in totum fuerunt?

XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS.

Homo quidam habuit CCCtos porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCCtis sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.

XLIIII. PROPOSITIO DE SALUTATIONE PUERI AD PATREM.

Quidam puer salutavit patrem; ave, inquit, pater! Cui pater: valeas fili! vivas, quantum vixisti, quos annos geminatos triplicatos; et sume unum de annis meis; et habebis annos C. Dicat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?

XLV. PROPOSITIO.

Columba sedens in arbore vidit alias volantes: dixit eis: utinam fuissetis aliae tantum et ternae tantum, tunc una mecum fuissetis C. Dicat, qui potest, quot columbae erant in primis volantes?

XLVI. PROPOSITIO DE SACCULO AB HOMINE INVENTO.

Quidam homo ambulans per viam invenit sacculum cum talentis duobus. Hoc quoque alii videntes dixerunt ei: frater da nobis portionem inventionis tantum. Qui renuens noluit eis dare. Ipsi vero irruentes diripuerunt sacculum, et tulit sibi quisque solidos quinquaginta. Et ipse postquam vidit se resistere non posse, misit manum et rapuit solidos quinquaginta. Dicat, qui vult, quot homines fuerunt?

XLVII. PROPOSITIO DE EPISCOPO QUI JUSSIT XII PANES DIVIDI.

Quidam Episcopus jussit XII panes dividi in Clero. Praecepit enim sic; ut singuli Presbyteri binos acciperent panes; Diaconus dimidium, Lector quartam partem: ita tamen fiat, ut Clericorum et panum unus sit numerus. Dicat, qui vult, quot Presbyteri, vel quot Diacones, aut quot Lectores esse debent?

XLVIII. PROPOSITIO DE HOMINE QUI OBVIAVIT SCHOLARIBUS.

Quidam homo obviavit scholaribus, et dixit eis: quanti estis in schola? Unus ex eis respondit dicens: Nolo hoc tibi dicere, tu numera nos bis, multiplica ter; tunc divide in quatuor partes. Quarta pars numeri, si me addis cum ipsis, centenarium explet numerum. Dicat, qui potest, quanti fuerunt, qui pridem obviaverunt ambulanti per viam?

XLVIIII. PROPOSITIO DE CARPENTARIIS.

Septem carpentarii septenas rotas fecerunt. Dicat, qui potest, quot carrae rexerunt?

L. PROPOSITIO DE VINO IN VASCULIS.

Centum metra vini, rogo, ut dicat, qui vult, quot sextarios capiunt? vel ipsa etiam centum metra quot meros habent?

LI. PROPOSITIO DE VINI IN VASCULIS A QUODAM PATRE DIVISIONE.

Quidam paterfamilias moriens dimisit IIII filiis, IIII vascula vini: in primo vase erant modia XL; in secundo XXX; in tertio XX; et in quarto X; qui vocans dispensatorem domus suae ait: Haec quatuor vascula cum vino intrinsecus manente divide inter quatuor filios meos; sic tamen, ut unicuique eorum una sit portio tam in vino, quam in vasis. Dicat, qui intelligit, quomodo dividendum est, ut omnes aequaliter ex hoc accipere possint?

LII. PROPOSITIO DE HOMINE PATERFAMILIAS.

Quidam paterfamilias jussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari; quae distabat leucas XXX: ea vero ratione, ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus, et in unaquaque subvectione XXX modia portarentur: camelus quoque in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent?

LIII. PROPOSITIO DE HOMINE PATREFAMILIAS MONASTERII XII MONACHORUM.

Quidam Pater Monasterii habuit XII monachos, qui vocans dispensatorem domus suae dedit illis ova CCIIII, jussitque, ut singulis aequalem daret ex eis portionem. Sic tamen jussit, ut inter V presbyteros daret ova LXXXV [et inter quatuor Diaconos LXVIII, et inter tres Lectores LI]. Dicat, rogo, qui valet, quot ova unicuique ipsorum in portionem venerunt, ita ut in nullo nec superabundet numerus, nec minuatur; sed omnis, ut supra diximus, aequalem in omni accipiat portionem?

Solutiones

I Sequitur solutio de limace.

In leuca una sunt mille quingenti passus; ¬V¬I¬I D pedes, ¬X¬C unicae. Quot unicae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI et dies CCX.

II Solutio de eadem propositione

Qui inprimis ab illo visi sunt, fuerunt XXXVI. Alii tantum LXXII. Medietas medietatis XVIII. Et hujus numeri medietas sunt VIIII. Dic ergo sic: LXXII et XVIII fiunt XC. Adde VIIII fiunt XCVIIII. Adde loquentem, et habebis C.

III Solutio de ciconiis

XXVIII et XVIII, et tertio sic; fiunt LXXXIIII. Et medietas tertii fiunt XIIII. Sunt in totum XCVIII. Adjectis duobus, C apparent.

IV Solutio de equis.

XL equi erant, qui pascebant. Alii tantum fiunt LXXX. Medietas medietatis hujus, id est, XX si addatur, fiunt C.

V Solutio de emptore.

Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.

VI Solutio de porcis.

Inprimis CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum est, in duobus solidis V porcos: quia sive quinquagies quinos, sive quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus divisis unus tulit CXXV, alter similiter. Unus vendidit deteriores tres semper in solido; alter meliores duos in solido. Sic evenit, ut is, qui deteriores vendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus. Qui vero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus XXX semper in X solidis; de melioribus vinginti autem in X solidis sunt venumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad lucrum IIII solidos et duos denarios facere potueunt.

VII Solutio.

Aurum pensat uncias novem: argentum ter uncias VIIII, id est, libras duas et tres uncias. Auricalchum pensat ter libras duas et [ter] III uncias, id est, libras VI et VIIII uncias. Stannum pensat ter libras VI, et ter uncias VIIII, hoc est, libras XX, et III uncias. VIIII unciae, et II librae cum III unciis: et VI librae cum VIIII unciis: et XX librae cum III unciis adunatae, XXX libras efficiunt.

Item aliter ad solidum.

Aurum pensat solidos argenteos XV. Argentum ter XV, id est, XLV. Auricalchum ter XLV, id est, CXXV. Stannum ter CXXXV, hoc est, CCCCV. Junge CCCCV, et CXXXV: et XLV: et XV; et invenies DC tos, qui sunt librae XXX.

VIII Solutio.

Per primam fistulam ¬I¬I¬I DC sextarii cucurrerunt. Per secundum ¬I¬I CCCC. Per tertiam ¬I CC.

IX Solutio.

De quadringentis octogesima pars V sunt; et centesima IIII. Sive ergo octuagies V, sive centies IIII duxeris, semper CCCC invenies. Tot sagi erunt.

X Solutio.

Decima pars sexagenarii VI sunt. Decima vero quadragenarii IIII sunt. Sive ergo decimam sexagenarii, sive decimam quadragenarii decies miseris, centum portiones VI cubitorum longas; et IIII cubitorum latas invenies.

XI. Solutio ejusdem.

Verbi gratia: Si ego accipiam sororem socii mei, et ille meam, et ex nobis procreentur filiii; ego denique sum patruus filii sororis meae; et illa amita filii mei. Et ea propinquitate sibi invicem pertinent.

XII. Solutio.

Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro.

XIII. Solutio.

In prima igitur mansione duo fuerunt; in secunda IIII, in tertia VIII, in quarta XVI, in quinta XXXII, in sexta LXIIII, in septima CXXVIII, in octava CCLVI, in nona DXII, in decima ¬I XXIIII, in undecima ¬I¬I XLVIII, in duodecima ¬I¬I¬I¬I XCVI, in quarta decima ¬X¬V¬I CCCLXXXIIII. In quinta decima ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXVIII, etc.

XIV. Solutio.

Nullum omnino vestigium facit bos in ultima riga, eo quod ipse praecedit aratrum, et hunc aratrum sequitur. Quotquot enim hic praecedendo in exculta terra vestigia figit, tot ille subsequens excolendo resolvit. Propterea illius nullum reperitur vestigium in ultima riga.

XV. Solutio.

Ex uno capite campi III. Ex altero III, quae faciunt rigas versuras VI.

XVI. Solutio.

Prior, qui dari sibi duos rogavit, boves habebat IIII. At vero, qui rogabatur, habebat VIII. Dedit quippe rogatus postulanti duos, et habuerunt uterque sex. Qui enim prius acceperat, reddidit duos danti priori, qui habebat sex, et habuit VIII, quod est duplum a quatuor, et illi remanserunt IIII, quod est simplum ab VIII.

XVII. Solutio.

Primo omninum ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio.

XVIII. Solutio.

Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde venirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram navi receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transveherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque voragine lacerationis.

XIX. Solutio.

Eodem quoque ordine, ut superius. Prius intrassent duo infantes et transissent: unusque ex illis reduceret navem. Tunc mater navem ingressa transisset. Deinde filius ejus reduceret navem. Qua transvecta frater illius navim ingressus ambo ultra transissent, rursusque unus ex illis ad patrem reduceret navem. Qua reducta, filio foris stante, pater transiret: rursusque filius, qui ante transierat, ingressus navim eamque ad fratrem reduceret: jamque reductam ingrediantur ambo et transeant. Tali subremigante ingenio erit expleta navigatio forsitan sine naufragio.

XX. Solutio.

Similiter, ut superius, transissent prius duo infantes, et unus ex illis navem reduceret; in quam pater ingressus ultra transisset; et ille infans, qui prius cum fratre transierat, navim ad ripam reduceret, in quam frater illius rursus ingressus ambo ultra venissent; unusque propterea ex illis foras egressus; et alter ad matrem reduceret navim: in quam mater ingressa ultra venisset: qua egrediente foras, filius ejus, qui ante cum patre transierat, navim rursus ingressus eam ad fratrem ultra reduceret; in quam ambo ingressi ultra venissent, et fieret expleta transvectio nullo formidante naufragio.

XXI. Solutio.

Ipse campus habet in longitudine pedes CC. Et in latitudine pedes C. Duc bis quinqus de CC, fiunt XL. At deinde C divide per IIII. Quarta pars centenarii XXV. Siv ergo XL vicies quinquies; sive XXV quadragies ducti, millenarium implent numerum. Tot ergo ibidem oves collocari possunt.

XXII Solutio.

Longitudo hujus campi C perticis, et in utriusque frontis latitudo L, medietas vero LX includitur. Junge utriusque frontis numerum cum medietate, et fiunt CLX. Ex ipsis assume tertiam partem, id est, LIII, et multiplica centies, funt ¬VCCC. Divide in XII aequas partes, et inveniuntur CCCCXLI. Item eosdem divide in XII partes, et reperiuntur XXXVII. Tot sunt in hoc campo aripenni.

XXIII Solutio.

Duae ejusdem campi longitudines faciunt LXII. Duc dimidiam LXII, fiunt XXXI.Ac duae ejusdem campi latitudines junctae fiunt LXVI. Duc vero mediam de LXVI, fiunt XXXIII. Duc vero terties semel, fiunt ¬IXX. Divide per duodecimam partem bis sicut superius, hoc est, de mille viginti, duc per XII, fiunt LXXXV, rursusque LXXXV divide per XII, fiunt VII. Sunt ergo in hoc aripenni numero septem.

XXIV Solutio.

Junge duas longitundines istius campi, et fiunt LX. Duc mediam de LX, fiunt XXX, et quia in fronte perticas XVIII habet, duc mediam de XVIII, fiunt VIIII. Duc vero novies triginta, fiunt CCLXX. Fac exinde bis XII, id est, divide CCLXX, per duodecimam, fiunt XXII et semis; atque iterum XXII et semis per duodecimam divide partem….. fit aripennis unus et perticae X, et dimidia.

XXV Solutio.

Quarta quidem pars hujus campi, qui CCCC includitur perticis est C, hos si per semetipsos multiplicaveris, id est, si centies duxeris, X millia fiunt, hos in XII partes dividere debes; etenim de X millibus duodecima est DCCCXXXIII, quam cum item in XII partitus fueris, invenies LXVIIII. Tot enim aripennis hujusmodi campus includitur.

XXVI Solutio.

Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consuetudo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

XXVII Solutio.

Si fuerint duae hujus civitatis longitudines junctae, facient ¬I¬IC. Similiter duae, si fuerint latitudines junctae, faciunt ¬ICC. Ergo duc mediam de ¬ICC, faciunt DC, rursusque duc mediam de ¬I¬IC, fiunt ¬IL. Et quia unaquaeque domus habet in longitudine pedes XL, et in lato XXX: deduc quadragesimam partem de mille L, fiunt XXVI. Atque iterum assume tricesimam de DC, fiunt XX. Vicies ergo XXVI ducti fiunt DXX. Tot domus capiendae sunt.

XXVIII Solutio.

Duo igitur hujus civitatis latera juncta fiunt CC, atque duc mediam de CC, fiunt C. Sed quia in fronte habet pedes XC, duc mediam d XC, fiunt XLV. Et quia longitudo uniuscujusque habet pedes XX, et latitudo ipsarum pedes X, duc XX partem in C, fiunt V. Et pars decima quadragenarii IV sunt. Duc itaque quinquies IIII, fiunt XX. Tot domos hujusmodi captura est civitas.

XXVIIII Solutio.

In hujus civitatis ambitu VIII millia pedum numerantur, qui sesquialtera proportione dividuntur in ¬I¬I¬I¬IDCCC, et in ¬I¬I¬ICC. In illis autem longitudo domorum; in istis latitudo versatur. Subtrahe itaque de utraque summa medietatem, et remanet de majori IICCCC: de minore vero ¬IDC. Hos igitur ¬IDC divide in vicenos et invenies octagies viginti, rursumque major summa, id est, ¬I¬ICCCC, in XXX partiti, octoagies triginta dinumerantur. Duc octoagies LXXX, et fiunt VI milia CCCC. Tot in hujusmodi civitate domus, secundum propositionem supra scriptam, construi possunt.

XXX Solutio.

CXL pedes longitudinis implent CXXVI laterculi; et CXX pedes latitudinis CXX laterculi; quia uniusquisque laterculus in latitudine pedis mensuram habet. Multiplica itaque centum vicies CXXVI, in ¬X¬VCXX summa concrescit. Tot igitur in hujusmodi basilica laterculi pavimentum contegere possunt.

XXXI Solutio.

In centum autem quaterdecies VII numerantur, in LXIIII vero sedecies quaterni continentur, ex quibus IIII ad pervium reputantur, quod in longitudinem ipsius canavae dicitur. Quia ergo in LX quindecies quaterni sunt; etin centum quaterdecies septeni; ducquindecies XIIII, fiunt CCX. Tot cupae juxta suprascriptam magnitudinem in hujusmodi canava contineri possunt.

XXXII Solutio.

Duc semel ternos, fiunt III, hoc est unus vir III modios accepit. Similiter et quinquies bini, fiunt X, hoc estm quinque mulieres acceperunt modia X. Duc vero septies binos, fiunt XIIII, hoc est XIIII infantes fiunt XX. Hae sunt familiae XX. Ac deinde junge III et VII et X, fiunt XX, haec sunt modia XX. Sunt ergo simul familiae XX, et modia XX.

XXXIIISolutio.

Si duxeris ternos ter, fiunt VIIII. Et si duxeris quinquies binos, fiunt X, ac deinde duc vicies bis semis, fiunt XI, hoc est, viri III acceperunt modia VIIII, et quinque mulieres acceperunt X, et XXII infantes acceperunt XI modia. Simul juncti III et V, et XXI faciunt familias XXX. Rursusque VIIII et XI, et X, simul juncti faciunt modia XXX. Quod sunt simul familiae XXX, et modii XXX.

XXXIV Solutio.

Undecim terni fiunt XXXIII. Et XV bis ducti fiunt XXX, id est, XI viri acceperunt XXXIII modios; et XV mulieres acceperunt XXX et LXXIIII infantes acceperunt XXXVII, qui simul juncti, id est, XI et XV, et LXXIIII fiunt C, qua sunt familiae C, qui sunt modii C. His ergo simul junctis habes familias C et modios C.

XXXV Solutio.

Junge ergo VIIII et III, fiunt XII, XII namque unciae libram faciunt. Rursusque junge similiter VII et V, fiunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII, XXIIII autem faciunt duas libras, id est, solidos XL. Deinde ergo per vicesimam quartam partem ECCCCLX solidos, et vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deind duc, quia facit dodrans sive dodrans, XL in nonam partem, ideo novies XL accepit filius, hoc est, hoc est, XVIIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit, et quintam contra filiam, III et V, fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis seu bisse XL in parte octava, octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx, XL in VII partibus: postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX, hoc filia accepit. Junge ergo CCCLX et CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCCLX solidi et XLVIII librae.

XXXVI Solutio.

In eo vero, quod dxit, vivas, quantm vixisti, vixerat ante annos VIII et menses tres: et aliud tantum fiunt anni XXXIII, qui ter multiplicati fiunt anni XCVIIII, unum ipsis additum fiunt C.

XXXVII Solutio.

Tolle primum XXII denarios et divide eos in VI partes. Sic unicuique de magistris, qui quinque sunt, IIII denarios; nam quinquies quatuor XX sunt. Duos, qui remanserunt, quae est medietas de uno, tolle et da discipulo; et sunt adhuc III denarii residui; quos sic distribues. Fac de unoquoque denario partes XI, ter undecim fiunt XXXIII, tolle illas triginta partes, divide eas inter magistros V. Quinquies seni fiunt XXX. Accidunt ergo unicuique magistro partes VI. Tolle tres partes, quae super XXX remanserunt, quod est inedietas senarii, et da discipulo.

XXXVIII Solutio.

Duc ter vicies tria I, fiunt LXVIIII. Et duc bis vicies quatuor, fiunt XLVIII. Sunt ergo canballi, et solidi LXVIIII. Et oves XLVIII,et solidi II. Et boves XXVIIII, in solidis XXVIIII. Junge ergo XXIII et XLVIII et XXVIIII, fiunt animalia C. Ac deinde junge LXVIIII et II et XXVIIII, fiunt solidi C. Sunt ergo simul juncta animalia C, et soldi C.

XXXVIIII Solutio.

Si duxeris X novies, V fiunt XCX, hoc est, cameli XVIIII sunt empti in solidis XCV. Adde cum ipsis unum, hoc est, in solido I asinum I, fiunt XCVI. Ac deinde duc vicies quater, fiunt LXXX, hoc est, in quatuor solidis oves LXXX. Junge ergo XVIIII et I et LXXX, fiunt C. Haec sunt animalia. Ac dende junge XCV, et I et IIII, fiunt solid. C. Simul ergo juncti faciunt pecora C, et solidos C.

XL Solutio.

In hoc ergo, quod dixit; haberem tantum; XXXVI oves primum ab illo visae sunt. Et aliud tantum fiunt LXXII, atque medietas de hac videlicet medietate, hoc est, de XXXVI, fiunt X et VIII. Rursusque de hac secunda scilicet medietate assumpta medietas, id est, de XVIII fiunt VIIII. Junge ergo XXXVI et XXXVI, fiunt LXXII. Adde cum ipsis XVIII, fiunt XC. Adde vero VIIII cum XC, fiunt XCVIIII. Ipse vero homo cum ipsis additus erit centesimus.

XLI Solutio.

In prima igitur parturitione, quae fuit facta in media sode, fuerunt porcelli VII, et mater eorum octava. Octies igitur octo ducti fiunt LXIIII. Tot porcelli una cum matribus fuerunt in I angulo. Ac deinde sexagies quater octo ducti fiunt DXII. Tot cum matribus suis porcelli in angulo II. Rursusque DXII octies ducti fiunt ¬I¬I¬I¬I XCVI. Tot in tertio angulo cum matribus suis fuerunt. Qui si octies multiplicentur, fiunt ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, tot cum matribus in quarto fuerunt angulo. Multiplica quoque octies ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, fiunt ¬C¬C¬L¬X¬I¬I et CCCIIII. Tot enim creverunt, cum in media sode novissime partum fecerunt.

XLII Solutio.

Numerabitur autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et junge ad illas XCVIIII, quae nonagesimo gradu consistunt, et erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octavum et invenies similiter C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et alium de inferioribus, hoc ordine conjunge, et reperies semper in binis gradibus C. Quinquagesimus autem autem gradus solus et absolutus est, non habiens partem; similiter et centesimus solus remanebit. Junge ergo omnes et invenies columbas ¬V L.

XLIII Solutio.

Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.

XLIIII Solutio.

Erat enim puer annorum XVI, et mensium VI, qui geminati cum mensibus fiunt anni XXXIII, qui triplicati fiunt XCVIIII. Additio uno patris anno C apparent.

XLV Solutio.

Triginta III erant columbae, quas prius conspexit volantes. Item aliae tantae fiunt LXVI. Et tertiae tantum, fiunt XCVIIII. Adde sedentem, et erunt C.

XLVI Solutio

Apud quosdam talentum LXXII vel pondo vel habet libras. Libra vero habet solidos aureos LXXII. Sexagies quinquies LXXII ducti fiunt ¬V CCCC, qui numerus duplicatus fiunt decies DCCC. In X millibus et otingentis sunt quinquagenarii CCXVI. Tot homines idcirco fuerunt.

XLVII Solutio.

Quinquies bini fiunt X, id est, V presbyteri decem panes receperunt: et diaconus unus dimidium panem: et inter lectores VI habuerunt panem et dimidium. Junge V et I et VI in simul, et fiunt XII. Rursusque junge X et semis et unum et semis, fiunt XII. Et illi sunt XII panes; qui simul juncti faciunt homines XII et panes XII. Unus est ergo numerus clericorum et panum.

XLVIII Solutio.

Terties ter bini fiunt LXVI: tant erant, qui pridem obviaverunt ambulanti; qui numerus bis ductus CXXXII reddit. Hos multiplica ter, fiunt CCCXCVI, horum quarta pars XCVIIII sunt. Adde puerum respondentem et reperies C.

XLVIIII Solutio.

Duc septies VII fiunt XLVIIII, tot rotas fecerunt. XII vero quater ducti XLVIII reddunt. Super XL et VIIII rotas XII carra sunt errecta et una superfuit rota.

L Solutio.

Unum metrum capit sectarios XL et VIII. Duc centies XLVIII, fiunt quatuor milia DCCC. Tot sextarii sunt. Similiter et unum metrum habet meros CCLXXXVIIII, duc centies CCLXXXVIIII fiunt ¬X¬X¬V¬I¬I¬I DCCCC. Tot sunt meri.

LI Solutio.

In primo siquidem vasculo fuerunt modia XL, in secundo XXX, in tertio XX, in quarto X. Junge igitur XL et XXX et XX et X, fiunt C. Tunc deinde centenarium idcirco numerum per quartam divide partem. Quarta namque pars centenarii XXV reperitur, qui numerus bis ductus quinquagenarium de se reddit numerum. Eveniunt ergo unicuique filio in portione sua XXV modia; et inter duos L. In primo XL, et in quarto sunt modii X, hi juncti faciunt L, hoc dabis inter duos. Similiter junge XXX et XX modia, quae fuerunt in secundo et tertio vascula, et fiunt L et hoc quoque, similiter ut superius, dabis inter duos, et habebunt singuli XXV modia; eritque id faciendo singlorum aequa filiorum divisio, tam in vino, quam et in vasis.

LII Solutio.

In prima subvectione portavit camelus modios XXX super leucas X, et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est, modios XX comedit et remanserunt, in tertia vero subvectione fecit similiter; deportavit medios XXX, et ex his comedit XX, et remanserut, modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX, in quarta subvectione domum detulit, et ex his X in itinere comedit, et remanserunt de tota illa summa modia tantum XX.

LIII Solutio.

Ducentos igitur quatuor per XII partem divide. Horum quippe pars XII in septima decima resolvitur parte; quia sive duodecies XVII, sive decies septies XII miseris, CCIIII reperies. Sicut enim octogenarius quintus numerus septimum decimum quinarium reddit numerum de se, ita et sexagenarius octavus quadrifarie, et quinquagesimus primus trifarie. Junge V et IIII et III, fiunt XII. Isti sunt homines XII. Rursusque junge LXXXV et LXVIII et LI, fiunt CCIIII. Haec sunt ova CCIIII. Veniunt ergo singulorum ex his in partes ova XVII per duodecimam partem. Septimum decimum aequa lance dividi fiunt….
Ludomatematica

Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche

Il principe Baldassarre Boncompagni fu uno dei promotori degli studi italiani di storia delle matematiche.

Erede di una cospicua fortuna, che gli permise di raccogliere una biblioteca matematica di 600 manoscritti e circa 40000 volumi dispersa dopo la sua morte, fondò e diresse il Bullettino di Bibliografia e Storia
delle Scienze Matematiche e Fisiche, una delle prime riviste dedicate completamente alla storia delle scienze esatte, i cui venti volumi (1868-1887) costituirono un punto d’incontro di una generazione di
storici della matematica in tutta Europa, e contribuirono a fissare degli standard di qualità per questa disciplina.
Per facilitare ricerche o per semplice conoscenza riporto qui di seguito gli indici dei materiali contenuti nei XX volumi costituiti da un totale di ben 14554 pagine.





Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo I 1868 pagg. 466


  1. Sopra Pietro Peregrino di Maricourt e la sua epistola de Magnete . Memoria prima del P.D. Timoteo Bertelli
  2. Aven Natan e le teorie sulla origine della luce lunare e delle stelle presso gli autori ebrei del medio evo. Nota di M. Steinschneider
  3. Intorno al centro di gravità Notizie storico-critiche del sig. dott. Domenico Piani
  4. Intorno ad alcune definizioni della forza di restituzione dei corpi solidi corrispondenti ai due metodi analitico e sintetico coi quali è studiata la teoria della elasticità .
  5. De notis numerorum romanis. Auctore G. Friedlein.
  6. Sur le dètermination de la troisième inégalité lunaire ou variation par Aboul-Wéfà et Tycho Brahè.
  7. Elèments de géométrie per Eugene Catalan.
  8. NIKOMAXOY, Nicomachi ecc..Introductionis Aritmeticae Libri II Recensuit Ricardus Hoche ecc…
  9. Sugli spettri prismatici delle stelle fisse. Memoria del P.A.Secchi… Firenze
  10. Sulla epistola di Pietro Marino da Maricourt e sopra alcuni trovati e teorie magnetiche del secolo XIII.
  11. La primière idèe du tèlègraphe magnetique.
  12. Sulla epistola di Pietro Marino da Maricourt e sopra alcuni trovati e teorie magnetiche del secolo XIII. Memoria Seconda
  13. Sur L’astronomie de Boèce signalée par M. le D. Maurice Cantor
  14. Notice sur Ludolphe Van Colen.
  15. Textes ancien sur les verres combarant par refraction.
  16. De l’astronomie et mathematiques chez les Chinois
  17. Teoria delle funzioni di variabili complesse esposta dal Dott. Felice Casorati.
  18. Fisica del globo ecc. del Prof. Gerolamo Boccardo
  19. Intorno ad una formula di Leibniz.
  20. Di un supposto sistema telegrafico magnetico indicato da alcuni autori dei secoli XVI e XVII.
  21. Annunzi di recenti pubblicazioni
  22. De l’Ecole di Bagdad et des travaux scientifiques des Arabes.
  23. Introduction a l’art analytique par Francois Viete.
  24. Primiere serie de notes sur la logistique specieuse par Francois Viete.
  25. Intorno alla vita ed agli scritti di Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi.
  26. Complements de Geometrie ecc. Par M. Poudra
  27. Catalogue des travaux de M. Noel Germinal Poudra
  28. Maniere de compter des Anciens avec les doigts mains, d’apres un petit poeme inedit Arabe de Chems-Eddin el Mossouli et le Tratado de mathematicas de Juan Perez de Moya 3.
  29. Sulla epistola di Pietro Marino da Maricourt e sopra alcuni trovati e teorie magnetiche del secolo XIII.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo II 1869 pagg. 551


  1. La vie et les travaux du Baron Cauchy ecc.
  2. Indicazione degli scritti di Agostino Cauchy contenuti in otto raccolte.
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Intorno alla vita ed agli scritti di Francesco Woepcke.
  5. Intorno all’opera d’Albiruni sull’India.
  6. Notice historique sur la vie et les travaux de Nicolas Ivanovitch Lobatchefsky. Discours pronuncè dans la Seance solennelle de l’Universitè Imperiale de Kazan
  7. Notice sur la vie et le traveux de Jean Baptiste Brasseur.
  8. Intorno ad una scritto del sig. Prof. Placido Tardy.
  9. Intorno ad una formula di Leibniz.
  10. Sur quelques passagesdes lettres de Leibniz relatifs aux differentielles à indice quelconque.
  11. Corso elementare completo di Matematiche pure per Agostino Farnocchia.
  12. Notizia sconosciuta relativa a Buonaventura Cavalieri.
  13. Materiaux divers pour l’histoire des mathematiques recueillis par le Dr. Rodolph Wolf.
  14. Les professeurs de mathematiques et de physiques generale au College de France. Primiere periode 1530-1547
  15. Les professeurs de mathematiques et de physiques generale au College de France. Duxieme periode 1547-1589
  16. Les professeurs de mathematiques et de physiques generale au College de France. Troisieme periode.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo III 1870 pagg. 468


  1. Sul teorema del Conte di Fagnano. Nota di F. Siacci
  2. Intorno ad uno scritto intitolato “Memorie concernenti il Marchese Giulio Carlo de Toschi di Fagnano” contenute nel codice Vaticano 9281
  3. Rassegna di alcuni scritti relativi all’addizione degl’integrali ellittici ed abeliani. Nota del Prof. Angelo Genocchi
  4. Die || Zahl zeichen und das elementare Rechen || der Griechen und Romer || und des cristlichen Abendlandes || vom.7. bis 13…
  5. Intorno a due edizioni di Marco Michele Bousquet.
  6. Annunzi di recenti pubblicazioni
  7. Les professeurs de mathematiques et de physique generale au College de France 1774-1869
  8. Sulla vita e le opere di Giovanni Battista Amici.
  9. Intorno a tre lettere di Galileo Galilei dall’archivio dei Gonzaga.
  10. Lettere di Galileo.
  11. Recherches historiques sur l’invention du niveau a bulle d’air.
  12. Intorno ad una edizione degli Elementi di Euclide.
  13. Sur un ouvrage faussement attribuè a aristarque de Samos.
  14. Annotationes ad historiam matheseos spectantes.
  15. Quelques arpenteurs hollandais de la fin du XVI et du commencement du XVII siecle et leurs instruments.
  16. Sull’Aritmetica. Dissertazione storico-critica di Andrea Stiattesi.
  17. Notice bibliographique sur Bernard Riemann par Ernest Schering.
  18. Catalogue des travaux de Bernard Rimann. Paul Mansion.
  19. Cenni necrologici del P. Nazareno Mancini. F. Marchetti
  20. Catalogo dei lavori del P. Nazareno Mancini.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo IV 1871 pagg. 596


  1. Euclide e il suo secolo. Saggio storico matematico di Maurizio Cantor.
  2. Annunzi di recenti pubblicazioni
  3. Hypothese astronomique de Pythagore; par Henry Martin
  4. Hypothese astronomique de Philolaus ; par Henry Martin.
  5. Notice sur les travaux de Jules Plucker par M. Alfred Clebsch.
  6. Notice sur Meindert Semejins; par D. Bierens De Haan.
  7. Intorno alla vita e ai lavori di Meindert Semejins. B. Boncompagni
  8. Intorno alla vita e ai lavori del P. Giovanni Antonelli delle Scuole Pie. Cenni di Andrea Stiattesi.
  9. Catalogo dei lavori del P. Giovanni Antonelli.
  10. Intorno ad un’opera dell’Abate Nicolò Luigi De La Caille intitolata <Lecons elementaires de Mathematique…>
  11. Lettre de M.L.Am. Sedillot a D.B.Boncompagni au sujet d’une note de M.Th. Henry Martin.
  12. Intorno al volume intitolato < Geschichte || der || mathematischen Wissenschaften||1 Theil||…
  13. Intorno ad uno scritto del Sig.Prof. Angelo Genocchi. Lettera del Conte Luigi Federigo Menabrea.
  14. Sur quelques points de l?histoire de l’astronomie ancienne, et en particulier sur la precession des equinoxes.
  15. Storia delle matematiche presso gli Arabi del Dr. Ermanno Hankel.
  16. Vite dei matematici Arabi tratte da un’opera inedita di Bernardino Baldi.
  17. Intorno ad una lettera del Sig. Conte L.F. Menabrea. Appunti di Angelo Genocchi.
  18. Sulle scienze occulte nel medioevo, e sopra un codice della famiglia Speciale. Discorso letto all’Accademia delle Scienze.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo V 1872 pagg. 556


  1. Intorno ad una traduzione italiana, fatta nel secolo decimoquarto, del trattato d’Ottica d’Alhazen, matematico del secolo undecimo, e ad altri lavori di questo scienziato.
  2. Sur l’orthograph du nom et sur la patrie de Witelo (Vitellion). Note de Maximilien Curtze.
  3. Intorno ad un manoscritto dell’Ottica di Vitellione citato da fra Luca Pacioli. – B.Boncompagni
  4. Annunzi di recenti pubblicazioni.
  5. De Heronis quae feruntur definitionibus. Auctore Godofredo Friedlein.
  6. Intorno alle Definizioni di Erone. – B.Boncompagni
  7. Sur un article du Journal des Savants ; par Eugene Catalan.
  8. Sulla composizione geometrica de’ sistemi di rette, aree e di punti. Memoria di Domenico Chelini.
  9. Giunte allo scritto intitolato <Intorno ad una traduzione italiana, fatta nel secolo decimoquarto del trattato d’ottica d’Alhazen>
  10. Sopra alcuni scritti stampati, finora sconosciuti, di Domenico Maria Novara da Ferrara
  11. Ulteriori notizie sopra alcuni scritti stampati, finora sconosciuti, di Domenico Maria Novara da Ferrara.
  12. Sur des instruments d’optique faussement attribues aux anciens par quelque savants modernes. – Henry Martin
  13. Intorno ad alcuni passi d’opere del medioevo relativi alla calamita.
  14. Intorno a due Codici Vaticani della <Epistola De Magnete> di Pietro Peregrino di Maricourt, ed alle prime osservazioni della declinazione magnetica.
  15. Intorno alle edizioni della <Epistola De Magnete> di Pietro Peregrino di Maricourt.
  16. Intorno ad un opuscolo di Domenico Maria Novara.
  17. Notizie intorno alla vita ed agli scritti di Felice Chiò.
  18. Catalogo dei lavori di Felice Chiò.
  19. Des savants Arabes et des savants d’aujourd’hui, a propos de queques rectifications.
  20. Victorii calculus ex Codice Vaticano editus a Godofredo Friedlein.
  21. Quelque mots de response à M.Sedillot. – Henry Martin
  22. Ptolemee, auteur de l’Optique traduite en latin par Ammiratus Eugenius Siculus sur une traduction arabe incomplete, est-il le meme que Claude Ptolomee, auteur de l’Almageste
  23. Intorno ad una traduzione latina dell’Ottica di Tolomeo. – B. Boncompagni
  24. Intorno ad un commento di Benedetto Vittori, medico fiorentino, al Tractatus Proportionibus di Alberto di Sassonia.
  25. Intorno al Trattato Proportionibus di Alberto di Sassonia
  26. Giunte e correzioni intorno allo scritto intitolato <Intorno alle Definizioni di Erone Alessandrino.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo VI 1873 pagg. 600


  1. Appunti storici intorno alle ricerche sui piccoli e spontanei moti dei pendoli fatte dal secolo XVII in poi – Timoteo Bertelli Barnabita
  2. Intorno ad alcune note di Galileo Galilei ad un’opera di Giovanni Battista Morin – B. Boncompagni
  3. Note per il Morino di Galileo Galilei
  4. Sulla prima idea delle caldaie tubulari. Lettera dell’Ing. Conte Guido Vimercati
  5. Remarques sur deux articles: “Storia delle matematiche presso gli arabi” e “Vite di matematici arabi..”- Bouchon Brandely
  6. Annunzi di recenti pibblicazioni.
  7. Intorno a 10 lettere inedite di Giuseppe Luigi Lagrange.
  8. Richiamo a favore di Luigi Chiò – Angelo Genocchi
  9. Giunte e correzioni allo scritto “Intorno ad una traduzione latina dell’ottica di Tolomeo” – B. Boncompagni
  10. Notice sur des tables logarithmiques Hollandaises. – D. Bierens de Haan
  11. Sur l’origine de la semaine planetaire, et de la spirale de Platon – M. L. Am. Sedillot
  12. Les mathematiques en Belgique en 1872 – Dr. P. Mansion
  13. Lo sviluppo storico della teoria dei poligoni stellati nell’antichita’ e nel medioevo – Dr. Sigismondo Gunther.
  14. Intorno ad un passo della Geometria di Boezio relativo al pentagono stellato – B. Boncompagni
  15. Cours d’analyse de l’ecole polytechnique……. – P. Mansion
  16. Un’ultima lettera sulle peripezie della serie di Lagrange in risposta al prof. Angelo Genocchi – L.F. Menabrea
  17. De Hypsicle scripsit Godofredus Friedlein.
  18. Breve risposta al sig. conte di Menabrea – Angelo Genocchi
  19. Interpretazione geometrica di formule essenziali alle scienze dell’estensione del moto delle forze – Domenico Chelini
  20. Lettera di Luigi Poinsot al prof. Domenico Chelini
  21. Giunte e correzioni allo scritto “Intorno a 10 lettere di Giuseppe Luigi Lagrange” – B. Boncompagni
  22. Giunte e correzioni allo scritto ” Intorno ad un passo della Geometria di Boezio relativo al pentagono stellato” – B. Boncompagni




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo VII 1874 pagg. 666


  1. Intorno alla vita ed ai lavori scientifici di Guglielmo Macqorn Rankine – Mariano Quercia
  2. Annunzi di recenti pubblicazioni
  3. Notice sur quelques quadrateurs du cercle dans les Pays-Bas – Bierens de Haan
  4. Intorno ad una iscrizione posta sulla tomba di Ludolf Van Ceulen – Eugenio Catalan
  5. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum… – Th. H. Martin
  6. Intorno al commento di Proclo sul primo libro degli elementi di Euclide – B. Boncompagni
  7. Storia dello sviluppo della teoria delle frazioni continue fino all’Euler – Dr. Sigismondo Gunther
  8. Intorno al metodo per la determinazione approssimativa degl’irrazionali di secondo grado – Dr. F. Woepcke
  9. Sur l’epoqueet l’auteur du pretendu XV livre des Elements d’Euclide – M. Th. H. Martin
  10. Extrait du “Kitab al Mobarek” d’Abu’l Wafa al Djoueini transcit d’apres le ms. 1912 Supplement Arabe. – Aristide Marre
  11. Intorno alla vita ed i lavori di Andalo’ di Negro, matematico ed astronomo genovese del secolo decimoquarto. – Cornelio de Simoni
  12. Catalogo dei lavori di Andalo’ di Negro – B. Boncompagni
  13. Intorno a due scritti di Raffaele Gualterotti fiorentino, relativo alla apparizione di una nuova stella avvenuta nell’anno 1604. – Ferdinando Jacoli
  14. Lettere inedite di Raffaele Gualtierotti.
  15. Notizie storiche sulle frazioni continue dal secolo decimoterzo al secolo decimosettimo – Antonio Favaro
  16. Paragone di due metodi per la determinazione approssimativa di quantita’ irrazionali – Sigismondo Gunther.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo VIII 1875 pagg. 729


  1. Intorno alla vita ed ai lavori del Prof. Geminiano Riccardi – Luigi Lodi
  2. Catalogo dei lavori del Prof. Geminiano Riccardi
  3. Due scritti inediti del Prof. Geminiano Riccardi
  4. Intorno ad una proprieta’ dei numeri dispari – B. Boncompagni
  5. Sur les emprunts que nous avons faits à la science arabe, en perticulier de la determination de la 3° inegalitè lunaire par Aboul Wefa de Bagdad, astronome du X siecle.
  6. Annunzi di recenti pubblicazioni
  7. Notice sur la vie et les travaux de Rodolphe Frederic Alfred Clebsch – Paul Mansion
  8. Catalogue des travaux de R.F.Alfred Clebsch
  9. Zur Geschichte der Mathematik in alterthum und mittelalter von Dr. Hermann Hankel 1874… – P. Mansion
  10. Evangelista Torricelli ed il metodo delle tangenti detto metodo di Roberval. – Ferdinando Jacoli
  11. Intorno alla vita ed ai lavori del P. Paolo Rosa d. C. d. G.
  12. Intorno ad alcune lettere di Evangelista Torricelli, del P. Marino Mersenne e di Francesco Du Verdus.
  13. Lettere di Evangelista Torricelli al P. Marino Mersenne
  14. Lettere del P. Marino Mersenne ad Evangelista Torricelli
  15. Lettere di Francesco Du Verdus ad Evangelista Torricelli
  16. Grande execution d’automne. Lettre de M.L. Am. Sedillot à M. le Dr. Ferdinand Hoefer, sciences mathematiques des Indiens et des origines du sanskrit
  17. La vie et les travaux de Jean Hevelius – M.L.C. Beziat




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo IX 1876 pagg. 785


  1. Intorno alla vita ed i lavori di Francesco Maurolico – Federico Napoli
  2. Scritti inediti di Federico Maurolico
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Sur un theoreme de l’arithmetique indienne – Edouard Lucas
  5. Die romischen agrimensoren und ihre stellung…historisch-mathematische… Moritz Cantor… – A. Favaro
  6. Die rechenkunst im sechzehnteh…. Kuckuck… – Maurizio Cantor
  7. Intorno ad un trattato d’aritmetica di Giovanni Widmann di Eger
  8. Intorno al problema delle tautocrone. Lettera del prof. F. Brioschi
  9. Note sur Jean-André de Segner fondateur de la metereologie mathematique – Dr. Sigismondo Gunther
  10. Prospetto storico dello sviluppo della geometria moderna. Scritto postumo del Dr. Ermanno Hankel
  11. Commemorazioni di Ermanno Hankel – Gulielmo von Zahn
  12. Catalogo dei lavori di Ermanno Hankel
  13. Notice sur la vie et les travaux de Louis-Othon Hesse – M. Felix Klein
  14. Copernico in Italia – Alfonso Sparagna
  15. Copernico in Bologna – Dr. F. Hipler
  16. Intorno alla vita e gli scritti di Gianfrancesco Malfatti matematico del secolo XVIII – G.B. Biadego
  17. Catalogo dei lavori di Gianfrancesco Malfatti
  18. Catalogo dei lavori relativi al problema del Malfatti
  19. Lettere inedite di Gianfrancesco Malfatti
  20. Goffredo Friedlein. Necrologia del Dr. Maurizio Cantor
  21. Catalogo dei lavori del Dr. Goffredo Friedlein – B Boncompagni
  22. Notice sur la vie et les travaux de Victor-Amedee Le Besgue.
  23. Catalogue des travaux de V.A. Le Besgue redigee par lui-meme
  24. Notes sur les oposcules de Leonard de Pise par V.A. Le Besgue
  25. Prophatii Judaei Montepessulani (a.1300)… Mauritius Steinschneider
  26. Lettre sur la vie et les travaux de Louis-Amelie Sedillot
  27. Catalogo dei lavori di Luigi Amelio Sedillot – B. Boncompagni
  28. Sulla nazionalita’ del Copernico – Maurizio Cantor




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo X 1877 pagg. 736


  1. Intorno alla vita ed ai lavori di Antonio Maria Lorgna – Ing. Ferdinando Jacoli
  2. Intorno alla determinazione di Domenico Maria Novara dell’obliquita’ dell’eclittica – Ferdinando Jacoli
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Recherches sur plusieurs ouvrage de Leonard de Pise, et sur diverses questions d’arithmatique superieure – Edouard Lucas
  5. Intorno alla somma delle quarte potenze dei numeri naturali – B. Boncompagni
  6. Niccolò Copernico e l’Archivio Universitario di Padova, lettera del prof. Antonio Favaro
  7. Rectification de quelques erreur relatives au mathematicien arabe Ibn Al-Banna
  8. Le origini ed i gradi di sviluppo del principio delle coordinate – prof. Sigismondo Gunther
  9. Intorno ad un opuscolo di Francesco Dal Sole – Pietro Riccardi
  10. Documenti inediti relativi a Franceso Dal Sole
  11. Intorno alla parola “Cumulo” usata da Francesco Dal Sole in senso di “mille milioni” – B. Boncompagni
  12. Les Mathematiques en Belgique en 1871, 1873, 1874, 1875 – Paul Mansion
  13. Lettera del Prof. Pietro Riccardi a B. Boncompagni
  14. Intorno ad alcuni scritti inediti relativi al calcolo dell’abaco – P. Treutlein
  15. Scritti inediti relativi al calcolo dell’abaco
  16. Intorno al “Tractatus de Abaco” di Gerlando – B. Boncompagni
  17. Sopra alla pubblicazione fatta da B. Boncompagni di undici lettere di Luigi Lagrange e Leonardo Eulero – Angelo Genocchi




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XI 1878 pagg. 887


  1. Intorno alla vita ed ai lavori di GiovanniSantini – Elia Millosevich
  2. Brano di lettera del Prof. Angelo Genocchi a D.B. Boncompagni
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. storia sul principio della minima azione – Adolfo Mayer
  5. Nuove Copernicana da Upsal, Rapporto letto alla Società Copernicana, Thorn 4 giugno 1877 – Massimo Curtze
  6. Giunte ed annotazioni alle “Nuove Copernicana da Upsal”
  7. I sei cartelli di matematica disfida….Lodovico Ferrari, e i sei controcartelli di Nicolò Tartaglia – Enrico Giordani
  8. Il carteggio fra Lagrange ed Euler – Maurizio Cantor
  9. Etude historique et critique sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe – F. Siacci
  10. Lehrbuch der determinanten theorie… – Dott. Giovanni Garbieri
  11. Intorno alla pubblicazione fatta dal Dr. Carlo Malagola di alcuni documenti relativi a Niccolò Copernico ad altri astronomi – A. Favaro
  12. Notice sul un panphlet mathematique hollandais intitulè ” Bril voor de Amsterdamsche” – B. Bierens de Haan
  13. Necrologie de Joseph-Ivanovitch Somoff – Andrè Somoff
  14. Catalogo dei lavori del Prof. G. I. Somoff – B. Boncompagni
  15. Intorno ad una lettera del Prof. G.I. Somoff
  16. Lettera del Prof. G.I. Somoff a D. B. Boncompagni
  17. Soluzione alla “Question 391” della Nouvelle Correspondance Mathematique – B. Boncompagni.
  18. Notizie storiche intorno all’invenzione del termometro – Raffaello Caverni.
  19. Intorno a due lettere del P. Abate D. benedetto Castelli a Mons. Ferdinando Cesarini.
  20. Della vita e degli scritti fisico-matematici di Ermanno Grassmann – Antonio Favaro.
  21. Geschichte der Astronomie… – A. Favaro.
  22. Grundlinien der mathematischen geographie… – A. Favaro.
  23. Sur la serie recurrente de Fermat – E. Lucas.
  24. La storia delle matematiche nell’università di Padova lettera di A. Favaro a B. Boncompagni.
  25. Elemente der theorie der determinanten… – Dr. Giovanni Garbieri.




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XII 1879 pagg. 984


  1. Intorno alla vita ed alle opere di Prosdocimo de’Beldomandi matematico padovano del secolo XV – A. Favaro
  2. Annunzi di recenti pubblicazioni
  3. Nuovi materiali per la storia dellafacoltà matematica nell’antica univarsità di Bologna – P.Riccardi
  4. Notice sur la corrispondance e Jean Bernoulli – Gustav Enestrom
  5. Quelques mots au sujet de la note de M.Maximilien Curtze sur l’orthographe du nom et la patrie de Witelo – T.Zebrawski
  6. Fisica tecnologica, elettricità emagnetismo, telegrafia elettrica, illuminazione, telefoni… – Rinaldo Ferrini
  7. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt e libris manuscript edidit… F. Hultsch
  8. Intorno a Johannes de Lineriis e Johannes Siculus – M. Steinschneider
  9. Intorno alle vite inedite di tre matematici: Giovanni Danck, Giovanni de Lineriis e Luca Pacioli – Bernardo Baldi
  10. Appendice di documenti inediti relativi a Fra Luca Pacioli
  11. Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat suivies de fragments inedits de Bachet et de Malebranche – C. Henry
  12. Intorno ad alcune notizie inedite relative a Niccolò Coppernico raccolte e pubblicate dal Prof. Massimiliano Curtze – A Favaro
  13. Intorno a due scritti di Leonardo Euler – B. Boncompagni
  14. Dimostrazione del quinto postulato di Euclide nota del Prof. Vincenzo de Rossi – A Genocchi
  15. Invarianti covarianti e controvarianti delle funzioni omogenee – Giacomo Foglini
  16. Lagrange – Camille Tychsen
  17. Lettres inedites de Joseph-Luis Lagrange à Leonard Euler publiees par B. Boncompagni – Gustave Enestrom
  18. Sulla memoria inedita di Pietro Maggi intorno ai principi di meccanica molecolare di Ambrogio Fusinieri – Giambattista Biadego
  19. Intorno ai principi di meccanica molecolare del Sig. Ambrogio Fusinieri – Pietro Maggi
  20. Giunte all’articolo intitolato” Intorno alle vite inedite di tre matematici, G. Dank, G. de Lineriis, fra Luca Pacioli – B. Boncompagni
  21. Materiali per la storia delle scienze naturali presso gli arabi – Eilardo Wiedemann
  22. Materiali per la storia dell’ottica fisiologica (ruota dei colori e visione binoculare) – Guglielmo von Bezold
  23. Sulla storia dell’invenzione dell’areometro – E. Gerland
  24. Deux mathematiciens de l’Oratoire – Aristide Marre




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XIII 1880 pagg. 904


  1. Intorno ad un trattatto di aritrmetica del P.D. Smeraldo Borghetti Lucchese Canonico regolare della Congreg. del SS Salvatore
  2. Annunzi di recenti pibblicazioni
  3. Notizie di libri relativi alle matematiche, possedute dalla Biblioteca Alessandrina, e non citati dal Conte G. M. Mazzuchelli – E. Narducci
  4. Notice sur les Tables Astronomiques attribuees a Pierre III D’Aragon – Maurice Steinschneider
  5. Supplement au travail intitulè “Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat….. – C. Henry
  6. Nuovo documento relativo alla invenzione dei cannocchiali binocoli con illustrazioni del Prof. Gilberto Govi
  7. I precursori inglesi del Newton – Antonio Favaro
  8. Notice sur Nicolas Chuquet et son “Triparty en la science des nombres” – Aristide Marre
  9. Le triparty en la science des nombers par Maistre Nicolas Chuquet Parisien, d’apres le manuscrit Fond francaise n° 1346
  10. Michele Chasles – B. Boncompagni




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XIV 1881 pagg. 821


  1. Intorno ad uno scritto di Adelardo di Bath intitolato “Regule Abaci” – B. Boncompagni
  2. Regule Abaci
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Etudes sur Zarkali, astronome arabe du XI siecle et ses ouverage – Maurice Steinschneider
  5. Die Lehre von den gewohlichen und verallgemeinerten hyperbolfunktionen….. – A. Favaro
  6. Supplement a la bibliographie de Gergonne – Charles Henry
  7. Sull’ottica degli arabi – Eilardo Wiedemann
  8. Notice sur un manuscrit inedit de Claude Mydorge – Charles Henry
  9. Extrait du traité de geometrie de Claude Mydorge (fond francais n° 656)
  10. Alcune lettere inedite di Galileo Galilei pubblicate e illustrate da Gilberto Govi
  11. Appendice au Triparty en la science des nombers de Nicolas Chuquet Parisien – Aristide Marre
  12. In memoriam Dominici Chelini collectanea mathematica nunc primum edita cura et studio – L. Cremona, E. Beltrami
  13. Bibliographie neerlandaise historico-scientifique des ouvrages importants 16°, 17° 18° sciecles… – Bierens de Haan
  14. Sulla storia delle scienze naturali presso gli arabi. Pesi specifici – Eilardo Wiedmann
  15. Notice sur l’ouvrage astronomique inedit d’ Ibn Haitham – Maurice Steinscheneider




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XV 1882 pagg. 791


  1. Intorno alla vita ed alle opere di Bartolomeo Sovero, matematico svizzero del secolo XVII – A Favaro
  2. Sur les deux anciens traites francais d’algorisme et de geometrie – C. Henry
  3. Traitè de algorism (Manuscrit de la bibliotheque Sainte Genevieve, coté R.1.17 feuillets 150-151
  4. Traitè de geometrie (meme manuscrit feuillets 151-163)
  5. Annunzi di recenti pubblicazioni
  6. Intorno a due trattati inediti d’Abaco contenuti in due codici Vaticani del secolo XII – E. Narducci
  7. Due trattati inediti d’Abaco
  8. Sur une arithmetique espagnole du seizieme siecle – Joseph Perott
  9. Supplement a la notice sur les Tables astronomiques attribuees a Pierre III d’Aragon – Maurice Steinschneider
  10. Il carteggio fra Gauss e Sofie Germain – Sigismondo Gunther
  11. Bibliographie neerlandaise historico-scientifique des ouvrages importants dont les auteurs sont nes aux 16°,17°, et 18° siecles
  12. Giacomo Manzoni studi di bibliografia analitica … de primi inventori delle lettere a stampa…- Pietro Riccardi
  13. Intorno agli atti di nascita e di morte di Pietro Simone Laplace
  14. Intorno ad un commento inedito di Remigio d’Auxerre al “Satyricon” di Marziano Cappella – E. Narducci
  15. Brano di aritmetica di Marziano Cappella (Codice Vaticano “Regina Svecorum n° 1762” car 213v, lin 5-21 car.214-217)
  16. Comento di Remigio d’Auxerre all?aritmetica di Marziano Cappella (Codice Vaticano “Regina Svecorum N°1970)
  17. Gli autografi Galileiani nell’Archivio Marsigli in Bologna – Antonio Favaro
  18. Rassegna di scritti intorno alla deviazione dei pendoli e alla esperienza del Foucault – A. Genocchi
  19. Les connaissances mathematiques de Jacques Casanova de Seingalt – Charles Henry
  20. Intorno alla vita ed ai lavori di Antonio Carlo Marcellino Poullet-Delisle – B. Boncompagni
  21. Sur huit lettres inedites du P. Claude Jaquemet de l’Oratoire – Aristide Marre
  22. Huit letters inedites du P. Claude Jaquemet de l’Oratoire




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XVI 1883 pagg. 814


  1. Alcuni scritti inediti di Galileo Galilei tratti dai manoscritti della Biblioteca Nazionale di Firenze – Antonio Favaro
  2. Annunzi di recenti pubblicazioni
  3. Brano di lettera del sig. prof. Angelo Genocchi diretta a B.Boncompagni in data Torino 14 Marzo 1883
  4. Sopra un’equazione indeterminata – S. Realis
  5. Lettera di Carlo Federico Gauss al Dr. Enrico Guglielmo Mattia Olbers.
  6. Sur le vie et les ecrits mathematiques de Jean-Antoine Nicolas Caritat. Marquis de Condorcet
  7. Vita di Leon Battista Alberti di Girolamo Mancini in Firenze Sansoni 1882 – A. Favaro
  8. Nicolaus Copernicus von Leopold Prowe ….. A. Favaro
  9. Bibliographie Neerlandaise historico-scientifique ….. Bierens de Haan
  10. Intorno al problema “Le noeud de cravate” e ad alcune opere di Urbano d?aviso Romano – Ferd Jacoli
  11. Etudes sur Zarkali. Second article – M. Steinschneider
  12. Supplement a la notice sur un ouvrage astronomique inedit d’ Ibn Haitman
  13. Problemes de geometrie pratique de Mydorge enonces et solutions, publies pour la primiere fois – Charles Henry
  14. Solutions des memes problemes tirees d’ouvrages orientaux – M. Leon Rodet
  15. Intorno ad un discorso sopra la calamita del P.D. Benedetto Castelli – A. Favaro
  16. Discorso inedito sopra la calamita del P.D. Benedetto Castelli pubblicato secondo la lezione del codice Bib. Naz. Fi
  17. Litterargeschichtliche studien uber Euklid – L. Heiberg
  18. Ricerche intorno a Paolo dal Pozzo Toscanelli – Gustavo Uzielli
  19. Intorno alla vita ed ai lavori di Sebastiano Purgotti – Andrea Stiattesi
  20. Intorno a due quesiti proposti nella raccolta intitolata “Giornale degli eruditi e curiosi” maggio-ottobre 1883
  21. Bibliographie Neerlandaise historico-scientifique… Sommaire II Bierens de Haan




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XVII 1884 pagg. 960


  1. Intorno al ” Tractatus Sfaerae” di Bartolomeo da Parma astronomo del secolo XIII e ad altris scritti del medesimo autore – E. Narducci
  2. Tractatus Sfaerae di Bartolomeo da Parma, parti prima e seconda (codice santa croce n° 228 carte 47-83)
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Di alcune relazioni tra Galileo Galilei e Federico Cesi illustrate con documenti inediti – Antonio Favaro
  5. Alcune asserzioni di C.F. Gauss circa le forme quadratiche YY+-nZZ – Angelo Genocchi
  6. Teoremi di Sofia Germain intorno ai residui biquadratici – Angelo Genocchi
  7. Sulla morte di Marco Velsero e sopra alcuni particolari della vita di Galileo – Antonio Favaro
  8. Intorno ad una proposizione inesatta di Sofia Germain – A genocchi, S. Realis
  9. Pierre de Carcavy intermediaire de Fermat, de Pascal, et de Huygens, bibliothecaire de Colbert et du Roi – Charles Henry
  10. Correspondance de Renè-Francois de Sluse, pubbliee pour la primiere fois et precedee d’une Introduction – M.C. Le Paige
  11. Etudes sur Zarkali (continuazione) – M. Steinschneider
  12. Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Barozzi – B. Boncompagni
  13. Ragguaglio dei manoscritti Galileiani nella collezione Libri-Ashburnham presso la Biblioteca Mediceo-Laurenziana – Antonio Favaro
  14. Addition à un memoire intitulé “Pierre de Carcavy intermediaire de Fermat, de Pascal, et de Huygens… Charles Henry




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XVIII 1885 pagg. 751


  1. Documenti inediti per la storia dei Manoscritti Galileiani nella Biblioteca Nazionale di Firenze – Antonio Favaro
  2. Annunzi di recenti pubblicazioni
  3. Ancora un cenno dei residui cubici e biquadratici – A. Genocchi
  4. Sur la loi de reciprocitè de Legendre etendue aux nombres non primiers – M.A. Genocchi
  5. Sur quelques theoremes qui peuvent conduire à la loi de reciprocitè de Legendre – A. Genocchi
  6. Intorno alla storia della legge di reciprocità – Leopoldo Kronecker
  7. Intorno alla vita ed ai lavori di Alberto Castigliano – B. Boncompagni
  8. Conchiusioni sull’Accademico Incognito oppositore al Discorso di Galileo intorno alle cose che stanno in su l’acqua… A. Favaro
  9. Nicolaus Coppernicus von Leopold Prowe – A. Favaro
  10. Notice Bibliographique sur les traductions en Suedois des Elements d?euclide – G. Enestrom
  11. Etudes sur Zarkali (continuazione) – M. Steinschneider
  12. Appendice agli Studi intorno alla vita ed alle opere di Prosdocimo de’ Beldomandi matematico padovano del secolo XV – A. Favaro
  13. Notice sur le vie et les travaux de Francois-Joseph Lionnet – Aristide Marre
  14. Catalogue des travaux de Francois-Joseph Lionnet
  15. Le nombre geometrique de Platon seconde interpretation par J. Dupuis… – Pierre Auguste Bertauld
  16. Coordonnees paralleles axiales, methode de trasformation geometrique… C. Le Paige
  17. Intorno alle macchie solari. Cenni storici del Prof. Angelo Forti
  18. Une polemique entre Goldbach et Daniel Benoulli – Eugene Catalan
  19. Sur un theoreme de Goldbach. Lettre de M.Gustave Enestrom a D.B. Boncompagni
  20. Corrispondence inedite de d’Alambert avec Cramer, Lesage, Clairaut, Turgot, Castillon, Beguelin, etc. – Charles Henry
  21. Intorno all’ampliazione di un lemma di Gauss – A. Genocchi
  22. Intorno alla vita ed agli scritti di Giuseppe Zecchini Lionelli, matematico cremonese – Francesco Porro
  23. Scritti inediti di Giuseppe Zecchini Lionelli
  24. Teorema di Lionelli
  25. Approssimazione diretta e grafica, ridotta alla differenza d’una quantita’ infinitamente piccola….
  26. Proprietà sorprendente della radice quadreta del numero 3




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XIX 1886 pagg. 735


  1. Intorno ad alcuni Documenti Galileiani recentemente scoperti nella Biblioteca Nazionale di Firenze – A. Favaro
  2. Brevi cenni della vita dell’ingeniere Savino Realis – A. Genocchi
  3. Per una completa collezione delle opere matematiche di Lorenzo Mascheroni – Pietro Riccardi
  4. Annunzi di recenti pubblicazioni
  5. Ricerche ulteriori intorno alla vita ed alle opere di Bartolomeo Sovero, matematico svizzere del secolo XVII – A. Favaro
  6. L’ottica di Claudio Tolomeo da Eugenio Ammiraglio di Sicilia scrittore del secolo XII…. – A. Favaro
  7. Giovanni Plana , ne’ a Voghera le 8 Novembre 1781, mort a Turin le 20 Janvier 1864 – S. Realis
  8. Sur quelques billets inedit de Lagrange – Charles Henry
  9. Letters inedites d’Euler a d’Alambert – Charles Henry
  10. Letters inedites de Laplace, publiees avec une premiere redaction de sa methode pour determiner les orbites de cometes – C. Henry
  11. La libreria di Galileo Galilei, descritta ed illustrata de Antonio Favaro
  12. Vite inedite di matematici italiani scritte da Bernardino Baldi – Enrico Narducci
  13. Note sur un passage geometrique du Menon de Platon – J. Dupuis




Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche Tomo XX 1887 pagg.749


  1. Etudes zur Zarkali (continuazione) – M. Steinschneider
  2. Carteggio inedito di Ticone Brahe, Giovanni Keplero e di altri celebri astronomi, tratto dall’archivio Malvezzi – F. Jacoli
  3. Annunzi di recenti pubblicazioni
  4. Documenti per la storia del’Accademia dei Lincei nei manoscritti Galileiani… – Antonio Favaro
  5. Storia dell’Accademia dei Lincei – Giovanni Battista Nelli
  6. Carteggio tra Lincei attualmente nei manoscritti Galileiani
  7. Lettere inedite e non di Federico Cesi a Galileo Galilei tratte dai manoscritti Galileiani
  8. Vita di Pitagora scitta da Bernardino Baldi, tratta dall’autografo ed annotata da Enrico Narducci
  9. Di Giovanni Tarde e di una sua visita a Galileo dal 12 al 15 Novembre 1614 – A. favaro
  10. Appendice prima alla Libreria di Galileo Galilei descritta ed illustrata da A. Favaro
  11. Bibliographie Generale de l’Astronomie par J.C.Houzeau…… A. Favaro
  12. La Science Romaine a l’epoque d’Auguste….. A. Favaro
  13. Lettre a Monsieur le Prince D.B.Boncompagni sur divers points d’histoire des mathematiques – C. Henry
  14. Theoreme du Carre de l’Hypotenuse – Aristide Marre
  15. Notice sur le travaux de Theodore D’Oppolzer avec la liste complete de ses publications – Robert Schram
  16. Di alcune teorie e ricerche elettro-sismiche antiche e moderne – Timoteo Bertelli Barnabita
  17. Etudes sur Zarkali (Appendice) – M. Steinschneider
  18. Ancora del trattato De Quadratura Circuli di Giovanni Battista della Porta – Pietro Riccardi
  19. Della invenzione del Micrometro per gli strumenti astronomici – G. Govi

Ludomatematica

De Viribus Quantitatis – Il manoscritto

© of Biblioteca Universitaria di Bologna Ai sensi della Legge Ronchey del 14.1.93 n. 4 e del relativo /Tariffario per la riproduzione e l’uso del patrimonio storico-artistico/ (D.M. 8.4.94), si fa espresso divieto di ulteriore riproduzione o duplicazione con qualsiasi mezzo.Per ogni riproduzione del manoscritto, infatti, è indispensabile richiedere l’autorizzazione alla Direzione della Biblioteca Universitaria di Bologna

Il De Viribus Quantitatis è un’unica copia manoscritta di Luca Pacioli, contenuta nel codice 250 della Biblioteca Universitaria di Bologna. Il manoscritto di cm. 24 x 16,5 consta di 309 carte (pari a 618 pagine) delle quali 4-16 sono occupate dall’indice, le due seguenti dalla lettera dedicatoria, e le rimanenti dal testo. Il codice è proveniente dalla biblioteca dell’appassionato bibliofilo Giovanni Giacomo Amadei (+1768) canonico di Santa Maria Maggiore di Bologna. L’amanuense lascio’ molti spazi vuoti per le lettere da alluminarsi, ma questa operazione non fu mai eseguita ed anche moltissime figure cui si fa riferimento nel testo in realta’ mancano, rendendo a volte difficoltosa l’interpretazione. Per questo motivo non ci sono pervenuti nè il nome del personaggio cui l’opera fu dedicata nè l’anno della sua composizione. La lettera dedicatoria, fu gia’ pubblicata da Baldassarre Boncompagni nel suo Bullettino vol.XII 1879, tramite questa, si puo’ ipotizzare che il De Viribus fu compilato tra il 1496 ed il 1508 poichè si accenna alla edizione manoscritta della Divina Proportione del 1496 e non alla stampata. Il manoscritto fu completato certamente nell’arco di alcuni anni, difatti nel foglio 228v l’autore scrive di aver visto eseguire un certo gioco da un prestigiatore ebreo di nome U. Perulo il Primo Aprile del 1509. Tale lettera è di non lieve importanza per le notizie che il Pacioli ci da’ riguardo le sue opere. La data di composizione della Divina Proportione è indicata nell’anno 1496, cosi’ sarebbe venuta un’anno prima di quello desunto dall’edizione stampata del 1508. Il Pacioli accenna poi ad altre due opere andate perdute: La traduzione in italiano degli Elementi di Euclide ed un Trattato sul gioco degli scacchi che faceva parte di un lavoro più ampio che egli aveva intitolato De Ludis ovvero Schifanoia e dedicato a Francesco Gonzaga e a Isabella D’Este. Esiste anche una lettera di suppliche che il Pacioli invio’ al Doge di Venezia (che all’epoca era Leonardo Loredan) in data 29 Dicembre 1508 per ottenere il privilegio di stampa delle sue opere, fra le opere citate e’ presente il De Viribus. L’opera è divisa in tre parti : Prima Parte Delle forze naturali cioé de Arithmetica Seconda Parte Della virtu et forza lineale et geometria Terza Parte De documenti morali utilissimi La prima parte è certamente quella piu’ importante per la storia della matematica , perchè costituisce la prima grande collezione di giochi matematici e problemi dilettevoli. Qualche esempio isolato si ha nella letteratura matematica orientale e araba, e solo nel X secolo troviamo una prima collezione nell’opera di Alcuino, precettore di Carlo Magno, Propositiones ad Acuendos Iuvenes raccolta che ando’ certamente per le scuole fondate da Carlo Magno e mise le basi di quelle questioni erratiche che trovarono posto oltre che nel Liber Abbaci di Leonardo Pisano detto Fibonacci, in altre opere manoscritte o stampate del rinascimento. Gli storici ignorando l’esistenza del lavoro di Pacioli, hanno attribuito per secoli, il merito della prima raccolta di giochi matematici a Bachet di Mezierac col suo Problemes Plaisant et Delectable (1612) da dove hanno attinto gli autori successivi Van Etten, Ozanam, Alberti e via via tutti gli altri. Pur non togliendo la priorita’ della stampa al Bachet, questo merito va riconosciuto al Pacioli, nella prima parte del De Viribus, difatti sono riportati molti dei problemi trattati poi dal Bachet, come vedremo più dettagliatamente nei links dei singoli problemi. Per i giuochi numerici della prima parte, utilizzo i risultati di uno studio fatto da Amedeo Agostini, Bologna 1925.

  Nel gennaio del 2002, studiando la seconda parte, ho fatto alcune scoperte interessanti, sfuggite ai precedenti esaminatori. Pacioli descrive una decina di giochi topologici. Vedi sopra, Seconda Parte (prob 106-116). Questi giochi si credevano piu’ recenti, si era a conoscenza di riferimenti compresi fra il 1550 ed il 1750. In effetti, per la totale mancanza delle figure a cui si fa riferimento, l’identificazione di questi puzzles sarebbe stata possibile solo ad uno specialista del settore.

Ludomatematica

TESSERE di MAC MAHON SU SUPERFICI TRIDIMENSIONALI

 

 

INTRODUZIONE

 

 

Una serie di pezzi di Mac Mahon è costituita generalmente da un insieme di tessere quadrate o triangolari colorate su ogni lato o su ogni vertice con n colori.
Se, ad esempio, i lati di un quadrato vengono contrassegnati in tutti i modi possibili con 3 simboli, si otterrà un insieme di 24 differenti pezzi.
Se un pezzo coincide con un’altro dopo essere stato ruotato, viene considerato identico.
Il problema è essenzialmente quello di posizionare queste tessere seguendo due regole fondamentali: 

 

  • Se i pezzi sono colorati lungo i lati , lati adiacenti devono avere lo stesso colore.
  • Se i pezzi sono colorati ai vertici, tutti i vertici che si incontrano in uno stesso punto devono avere colori differenti.

A ottanta anni dall’uscita del libro di Percy MacMahon “New Mathematical Pastime“, mi meraviglio del poco lavoro di indagine svolto intorno a queste serie colorate che nondimeno nascondono sorprese interessanti.
MacMahon nel suo libro propone perlopiu’ problemi bidimensionali, per questo utilizza tessere quadrate o triangolari, più idonee a saturare il piano, ma questo tipo di tassellatura presenta un difetto di forma, difatti i bordi esterni delle figure composte non entrano in gioco, oppure devono sottostare a regole diverse.
Ho indagato sulla possibilità di collocare queste tessere su superfici di poliedri piu’ o meno regolari.
In questo modo, si ottengono costruzioni più “perfette” perchè tutti i pezzi sottostanno alla stessa regola, in più la varietà dei pezzi che potremo utilizzare è maggiore, perchè le facce interessate possono essere rettangoli, rombi, trapezi, triangoli iscosceli ecc. 

 

Ho diviso l’argomento in 4 sezioni:

  • Enumerazione dei pezzi
  • Individuazione di possibili costruzioni
  • Soluzioni
  • Bibliografia

 
CLASSIFICAZIONE ED ENUMERAZIONE DEI PEZZI

 

Per la classificazione dei pezzi ci sono due caratteristiche fondamentali che vanno considerate RIPETIZIONE e RIFLESSIONE.
Con RIPETIZIONE si intende la possibilità che più lati di una stessa tessera siano dello stesso colore. 

Ovviamente in quelle serie dove la ripetizione è ammessa un solo colore è sufficiente per ottenere almeno una tessera, in quelle serie dove la ripetizione non è ammessa, occorreranno almeno tanti colori quanti sono i lati dei pezzi considerati.
Con RIFLESSIONE identifichiamo quelle coppie di pezzi con colorazione speculare (Enantiomorfi).
Pertanto in quelle serie dove la riflessione è ammessa, due pezzi speculari sono considerati distinti, in quelle serie dove la riflessione non è ammessa, le due colorazioni speculari convivono sulla stessa tessera, che in questo caso è colorata su entrambe le facce e diviene così un pezzo reversibile.

Dopo questa premessa possiamo considerare 4 tipi di famiglie che chiameremo A,B,C,D secondo lo schema seguente:

  Ripetizioni  Riflessioni 
A  Si  Si 
B  No  Si 
C  Si  No 
D  No  No

 

Utilizzando note formule combinatorie possiamo ora contare di quante tessere è composta ciascuna famiglia in base alla forma delle Tessere: Triangoli equilareri, quadrati ecc., ed in base al numero di colori n utilizzati.

 
TRIANGOLI EQUILATERI (TRE)  

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  (n^3+2n)/3  1  4  11  24  45  76  119 
B  n(n-1)(n-2)/3  –  –  2  8  20  40  70 
C  n(n^2+3n+2)/6  1  4  10  20  35  56  84 
D  n(n-1)(n-2)/6  –  –  1  4  10  20  35

 
TRIANGOLI ISOSCELI (TRI)  

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7
A  n^3  1  8  27  64  125  216  343 
B  n(n-1)(n-2)  –  –  6  24  60  120  210 
C  n^2(n+1)/2  1  6  18  40  75  126  196 
D  n(n-1)(n-2)/2  –  –  3  12  30  60  105

 
QUADRATI (QUA) 

   Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7
A  (n^4+n^2+2n)/4  1  6  24  70  165  336  616 
B  n(n-1)(n-2)(n-3)/4  –  –  –  6  30  90  210 
C  n(n-1)(n^2+n+2)/8  1  6  21  55  120  231  406 
D  n(n-1)8n-298n-3)/8  –  –  –  3  15  45  105

 
DELTOIDI E TRAPEZI ISOSCELI (DEL) e (TRA)
 

   Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  n^4  1  16  81  256  625  1296  2401 
B n(n-1)(n-2)(n-3)  –  –  –  24  120  360  840 
C  (n^4+n^2)/2 Deltoidi  1  10  45  136  325  666  1225 
C  n^3(n+1)/2 Trapezi  1  12  54  160  375  756  1372 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)/2  –  –  –  12  60  180  420 

 
ROMBI E RETTANGOLI (ROM) e (RET) 
 

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  (n^4+n^2)/2  1  10  45  136  325  666  1225 
B n(n-1)(n-2)(n-3)/2  –  –  –  12  60  180  420 
C  n^2(n^2+3)/4 Rombi  1  7  27  76  175  351  637 
C  n^2(n^2+2n+1)/4 Rettangoli  1  9  36  100  225  441  784 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)/4  –  –  –  6  30 90  210

 
PENTAGONI REGOLARI (PEN) 

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  n(n^4+4)/5  1  8  51  208  629  1560  3367 
B n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5  –  –  –  –  24  144  504 
C  n(n^4+5n^2+4)/10  1  8  39  136  377  888  1855 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/10  –  –  –  –  12  72  252

 
POSSIBILI COSTRUZIONI 

Osservando le tavole precedenti e’ possibile individuare un notevole numero di combinazioni che possono dar luogo a differenti poliedri.
Per le regole suddette: SU = Spigoli Uguali, VD = Vertici Differenti
Ecco un elenco di 39 problemi ammissibili.

Num  POLIGONI  SIGLA  PEZZI  POLIEDRO  REGOLA 
1  Triangoli Equilateri  B4  8  Ottaedro SU 
2  Triangoli Equilateri  B4  8  Ottaedro  VD 
3  Triangoli Equilateri  B5  20  Icosaedro  SU 
4  Triangoli Equilateri  B5  20  Icosaedro  VD 
5  Triangoli Equilateri  A4  24  Stella Octangula di Keplero  SU 
6  Triangoli Equilateri  A4  24  Tetrachisesaedro  SU 
7  Triangoli Isosceli  B4  24  Triachisottaedro  SU 
8  Triangoli Isosceli  D4  12  Triachistetraedro  SU 
9  Triangoli Isosceli D4  12  2 su ogni faccia del cubo  SU 
10  Triangoli Isosceli D4  12  Cubo Cavo  SU 
11  Triangoli Isosceli D4  12  Ottaedro Cavo  SU 
12  Triangoli Isosceli C3  18  3 su ogni faccia di 2 tetraedri uniti  SU 
13  Triangoli Isosceli  B4  24  Tetrachisesaedro SU 
14  Triangoli Isosceli  B5  60  Piccolo Dodecaedro Stellato  SU 
15  Triangoli Isosceli  B5  60  Triachisicosaedro  SU 
16  Quadrati  B4  6  Cubo  SU 
17  Quadrati+Tri.Equi.  B4+B4  6+8  Cubottaedro  SU 
18  Quadrati+Tri.Equi.  B4+B4  6+8  Cubottaedro  VD 
19  Quadrati  A3  24  Cubo 2x2x2  SU 
20  Quadrati  B5  30  Stella di 7 cubi  SU 
21  Rombi  D5  30  Triacontaedro Rombico  SU 
22  Rombi  B4  12  Dodecaedro Rombico  SU 
23  Rett+Quadr+TriEqui  B4  12+6+8  Cubo Smussato SU 
24  Rett+Quadr+TriEqui  B4  12+6+8  Cubo Smussato  VD 
25  Rett+Pent+TriEqui  D5+D5+B5  30+12+20  Dodecaedro Smussato  SU 
26  Deltoidi  D5  60  Esacontaedro Trapezioidale  SU 
27  Deltoidi  D5  60  Piccolo Triacontaedro Stellato  SU 
28  Trapezi+Quadrati  B4+B4  24+6  6 Piramidi Tronche sul Cubo  SU 
29  Trapezi+TriEqui  D4+D4  12+4  4 Piramidi Tronche sul Tetraedro  SU 
30  Trapezi+TriEqui  B4+B4  24+8  8 Piramidi Tronche sull’Ottaedro  SU 
31  Trapezi+Pentagoni  D5+D5  60+12  12 Piramidi Tronche sul Dodecaedro  SU 
32  Pentagoni+TriEqui  D5+B5  12+20  Icosidodecaedro  SU 
33  Penta+TriEqui+Quadr  D5+B5+B5  12+20+30  Piccolo Rombicosidodecaedro  SU 
34  Deltoidi  D4  12  3 su ogni faccia del Tetraedro  SU 
35  Deltoidi  B4  24  3 su ogni faccia dell’Ottaedro  SU 
36  Triangoli Isosceli  D5  30  Icosaedro Cavo  SU 
37  Triangoli Isosceli  D5  30  Dodecaedro Cavo  SU 
38 Pentagoni  D5  12  Dodecaedro  SU

 
BIBLIOGRAFIA
  

  • P.A. MacMahon e J.R.Jocelyn UK pat. 3927. Gennaio 1893. Sono i 24 TriangoliEqui. A4.
  • P.A. MacMahon “New Mathematical Pastime” Cambridge 1921. Descrive i 24 (TRI) A4, 24 (QUA) A3 e I 30 Cubi.
  • Martin Gardner “New Mathematical Diversions” Fireside 1966. 24 (QUA) A3, 30 Cubi. Riporta i risultati di una analisi al computer fatta da G.Feldman. del rettangolo 6×4 con 12261 soluzioni.
  • M.Gardner”Weels, Life…..” Freeman 1983 a pag. 23 da’ le 3 sol. del prob. 38 descritte da Conway col nome di Quintomino in Eureka Ott.1959.
  • M.Odier “Pattern in Space” in Games and Puzzles #41 Ott.1975. Descrive un icosaedro magnetico con tessere triangolari venduto dalla compagnia francese Anvar, riporta una soluzione del tipo VD.
  • “Enigma” dodecaedro in plastica che riproduce il prob. 38 venduto negli USA nel 1972.
  • W.E.Philpott “Journal of Recreational Mathematics” vol.7 1974 pp. 266-275. Riporta il prob. 19 e dice che fu proposto da J.B.Haley e H.Nelson.
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