Leggo a pag.128 del Dictionary of Courious and Interesting
Numbers di D.Wells che 128 (che combinazione!) e’ il piu’
grande intero che non e’ somma di distindi quadrati, in
altre parole tutti i naturali maggiori di 128, possono
essere espressi come somma di quadrati distinti.

Come si puo’ dimostrare ?

Qual e’ il maggior intero positivo non esprimibile come
somma di distinti cubi ?

Una pedina e’ piazzata nell’angolo in basso a sinistra di
una scacchiera n * (n+1).

La pedina comincia il suo giro, muovendo di una casella alla volta in diagonale, direzione alto-destra, finche’ non incontra un bordo.

A questo punto la pedina “rimbalza” facendo una curva ad angolo retto, e continua ad avanzare di una casella alla volta, rimbalzando
come una palla da biliardo ogni volta che incontra un bordo, finche’ non finisce in un angolo.

Di quante mosse e’ composto il giro della pedina ??

E’ sempre vero che la somma di n numeri naturali consecutivi e’
divisibile per n?

Michael Reid propone un problema impegnativo.

Trovare una regione di 60 quadrati, copribile con i 12 pentamini,
esattamente in 2001 modi differenti.

Ho organizzato l’archivio dei miei giochi matematici in 3 volumi A, B,
C, le pagine sono numerate sequenzialmente dalla prima pagina di A,
all’ultima di C.

Con SP(x) rappresento la somma della numerazione delle pagine del volume
x, (se ad es. A fosse formato da 50 pagine, risulterebbe SP(A)=1275) ho
notato che:

SP(C) = SP(A)+SP(B)

inoltre SP(A) = al quadrato del numero di pagine presenti nel vol. B.



Di quante pagine sono composti i volumi, sapento che ciascuno ne ha
piu’ di 40 e meno di 300?

Il matematico francese Joseph Liuville, ha scoperto questa curiosa
proprieta’ :

Prendiamo un qualunque intero positivo N. Es. 6

Determiniamo i divisori di N. Nel nostro es. i divisori di 6 sono
(1,2,3,6).

Contiamo ora quanti divisori ha, a sua volta, ciascun divisore di N,
nel nostro caso (1,2,2,4).

Allora la somma dei cubi di questi ultimi numeri e’ uguale al quadrato
della somma dei numeri stessi:

1^3+2^3+2^3+4^3 = (1+2+2+4)^2 = 81



Altro es: N=12

Divisori di 12 = (1,2,3,4,6,12)

numero di divisori dei precedenti = (1,2,2,3,4,6)



1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3 = (1+2+2+3+4+6)^2 = 324.

Perche’ funziona ?

Il gatto Miagolone sta cercando di catturare il topo Furbino che vive in
una di 17 cavita’.

Le cavita’ sono unite da un’unica galleria rettilinea che le collega tutte.

Miagolone sa che Furbino ogni giorno si sposta in una cavita’ adiacente
a suo piacimento, se ad es. un dato giorno sta nella cavita’ num 10, il
giorno dopo si sposta nella 9 o nella 11.

Miagolone ogni giorno riesce a controllare solo 2 cavita’, e’ evidente
che visitando le cavita’ (1,2) ( 2,3) (3,4)……(16,17) gli riuscira’
di localizzare il topo in un massimo di 16 giorni, ma questa non e’ la
strategia migliore.

Mettiti nei panni di Miagolone, in quanti giorni riusciresti
nell’impresa ??

Dalla stringa infinita formata ripetendo le cifre significative nel loro
ordine 12345678912345678912345….. formo infiniti numeri tali che
ciascuno contenga una cifra in piu’ del precedente.

Il primo e’ formato da 1 cifra, il secondo da 2…ecc. In pratica ho:

1
23
456
7891
23456
789123
4567891
23456789... ecc

Ora consideriamo la sequenza formata dalle prime cifre di questi numeri
(1,2,4,7,2,7,4,2….)

Cerca l’ennesimo termine.

Un numero tetraedrico Tet(N) e’ della forma n(n+1)(n+2)/6=1,4,10,20….

Con una di queste quantita’ N di palle, potro’ formare, una piramide
tetraedrica di lato n.

Se le palle usate sono numerate da 1 ad N, e seguono una certa regola,
allora ottengo un tetraedro magico (TM).

Ecco la regola:

Posso collocare la palla num.A sulle 3 sottostanti num.

B,C,D solo se B+C-D = A.



Ecco un esempio di TM di ordine 3:

   10    03    05          
                        06   04
      07    02                        09
                           01
         08
        
        sotto            medio        sopra

10+3-7 = 6
 5+2-3 = 4
 7+2-8 = 1
 6+4-1 = 9

Quanti TM di ordine 3 possiamo trovare? e di ordine 4,5,6….