I responsabili del centro sportivo stanno preparando il calendario per la prossima stagione
calcistica.

Ci sono 4 squadre (1,2,3,4) appartenenti al primo distretto ed altre quattro (5,6,7,8) appartenenti
al secondo.

Il campionato si gioca ogni sabato per 10 settimane.

Durante tutto lo svolgimento:

a) Ogni squadra gioca due volte con ciascuna squadra del proprio distretto.

b) Ogni squadra gioca una volta con ciascuna squadra del distretto a cui non appartiene.

c) Ogni squadra gioca 5 volte in casa e 5 volte in trasferta.

d) Nessuna squadra gioca per tre volte consecutive in casa o in trasferta.



Dopo ore di tentativi non sono ancora riusciti nel loro intento, e chiedono aiuto al nostro NG,
speriamo di non deluderli.

Per ogni intero positivo N e’ possibile sistemare gli interi
da O a N^2-1 in una matrice quadrata NxN.

Il caso N=4 e’ particolare perche’ 2^4 = 4^2 e’ l’unica
soluzione di x^y=y^x, per distinti naturali x e y.

Come risultato, noi possiamo espandere ogni numero da 0-15
in numeri binari di 4 bits, collocandoli su livelli separati
a formare un cubo 4x4x4.

Consideriamo ad esempio la matrice:

14  03  11  04
10  09  07  15
02  08  00  01   (a)
12  13  06  05

I quattro livelli binari sono:

  2^0        2^1        2^2        2^3

0 1 1 0    1 1 1 0    1 0 0 1    1 0 1 0
0 1 1 1    1 0 1 1    0 0 1 1    1 1 0 1
0 0 0 1    1 0 0 0    0 0 0 0    0 1 0 0
0 1 0 1    0 0 1 0    1 1 1 1    1 1 0 0

Considerando i quattro livelli come sovrapposti, e leggendo
i bytes dal basso verso l’alto otteniamo i numeri visti in
(a), ovviamente leggendo dall’alto verso il basso si
leggeranno sempre gli interi 0-15 disposti diversamente, ad
es. 1110 = 14 diventa 0111=7.



Possiamo notare ora che leggendo il cubo per righe
(destra-sinistra) si hanno sempre gli interi 0-15, difatti
traducendo in decimale:

06  14  09  10
07  11  03  13
01  08  00  04
05  02  15  12  

Purtroppo la stessa cosa non si ottiene leggendo per colonne
(fronte-retro del nostro cubo):

00  13  12  07
14  08  13  04
09  01  05  13
13  07  08  04      

dove appaiono quattro 13, due 8, e due 4.

Il cubo binario appena visto e’ completo solo per le quattro
direzioni nord, sud, alto, basso, fallendo invece per le
direzioni est, ovest.

Esiste un cubo binario 4x4x4 che generi tutti gli interi da
0 a 15 leggendo i 4 bit da tutte le sue 6 facce ?

Progressione Aritmetica di Potenze.

Come tutti sanno una progressione aritmetica e’ una sequenza
di interi tale che la differenza tra due termini consecutivi
e’ costante.

(23,25,27) e’ una progressione aritmetica particolare,
perche’ ogni K-esimo termine e’ anche una K-esima potenza,
difatti possiamo scrivere

(23^1, 5^2, 3^3).



Qual e’ la piu’ lunga PAP che possiamo trovare ?

Gli interi da 1 a n sono sistemati su una circonferenza in
una delle loro possibili permutazioni.

Si ricava la somma dei prodotti di ciascuna coppia di numeri
adiacenti.

Ecco un esempio per n=6:

         1
      4     3
      2     6
         5

1×3 + 3×6 + 6×5 + 5×2 + 2×4 + 4×1 = 73

Desiderando che questo risultato sia il massimo possibile,
possiamo sviluppare una procedura?

Esiste una formula in funzione di n che dia direttamente tale somma ?

Ci sono a disposizione 100 bastoncini di lunghezza
1,2,3,…,99,100 rispettivamente.

Quanti triangoli differenti (non congruenti) posso formare
scegliendo 3 bastoncini come lati ?

E se i bastoncini fossero N ?

Ho messo una sull’altra due scacchiere standard identiche.
Considerando il centro come perno, ne ho ruotata una di 45
gradi rispetto all’altra.

Ora mi (vi) chiedo:

Quanto vale l’area totale della regione dove le caselle nere si sovrappongono ?

Quanti sono i numeri di 9 cifre, una volta cancellati tutti
quelli con la stessa cifra ripetuta 3 o piu’ volte
consecutivamente ?

Come tutti sanno al 4 ottobre 1582 giovedi, segui’ il 15
ottobre venerdi’ passando cosi’ dal calendario Giuliano che
contava un bisestile ogni 4 anni, al calendario Gregoriano
che conta 97 bisestili ogni 400 anni, abolendo i 3
bisestili negli anni multipli di 100, ma non di 400.

Supponendo che qualche paese conservatore avesse rifiutato
la modifica del 1582 continuando a misurare il proprio tempo
col calendario Giuliano, in quali anni i due calendari.

sarebbero perfettamente identici ??

Ed Pegg chiede di mettere una cifra in ogni cella di un
rettangolo 3×4 in modo tale che i 3 numeri di quattro cifre
orizzontali e i quattro numeri di tre cifre verticali siano
tutti triangolari.

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Nella scacchiera 6×6 senza uno spigolo, desidero annerire
alcune caselle, il minimo possibile, in modo tale che tutte
le caselle rimaste bianche siano adiacenti (in contatto per
un lato) ad almeno una nera.

Chi mi aiuta ?