|
Il principe Baldassarre Boncompagni fu uno dei promotori degli studi italiani di storia delle matematiche. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Monthly Archives: August 2010
De Viribus Quantitatis – Il manoscritto
© of Biblioteca Universitaria di Bologna Ai sensi della Legge Ronchey del 14.1.93 n. 4 e del relativo /Tariffario per la riproduzione e l’uso del patrimonio storico-artistico/ (D.M. 8.4.94), si fa espresso divieto di ulteriore riproduzione o duplicazione con qualsiasi mezzo.Per ogni riproduzione del manoscritto, infatti, è indispensabile richiedere l’autorizzazione alla Direzione della Biblioteca Universitaria di BolognaIl De Viribus Quantitatis è un’unica copia manoscritta di Luca Pacioli, contenuta nel codice 250 della Biblioteca Universitaria di Bologna. Il manoscritto di cm. 24 x 16,5 consta di 309 carte (pari a 618 pagine) delle quali 4-16 sono occupate dall’indice, le due seguenti dalla lettera dedicatoria, e le rimanenti dal testo. Il codice è proveniente dalla biblioteca dell’appassionato bibliofilo Giovanni Giacomo Amadei (+1768) canonico di Santa Maria Maggiore di Bologna. L’amanuense lascio’ molti spazi vuoti per le lettere da alluminarsi, ma questa operazione non fu mai eseguita ed anche moltissime figure cui si fa riferimento nel testo in realta’ mancano, rendendo a volte difficoltosa l’interpretazione. Per questo motivo non ci sono pervenuti nè il nome del personaggio cui l’opera fu dedicata nè l’anno della sua composizione. La lettera dedicatoria, fu gia’ pubblicata da Baldassarre Boncompagni nel suo Bullettino vol.XII 1879, tramite questa, si puo’ ipotizzare che il De Viribus fu compilato tra il 1496 ed il 1508 poichè si accenna alla edizione manoscritta della Divina Proportione del 1496 e non alla stampata. Il manoscritto fu completato certamente nell’arco di alcuni anni, difatti nel foglio 228v l’autore scrive di aver visto eseguire un certo gioco da un prestigiatore ebreo di nome U. Perulo il Primo Aprile del 1509. Tale lettera è di non lieve importanza per le notizie che il Pacioli ci da’ riguardo le sue opere. La data di composizione della Divina Proportione è indicata nell’anno 1496, cosi’ sarebbe venuta un’anno prima di quello desunto dall’edizione stampata del 1508. Il Pacioli accenna poi ad altre due opere andate perdute: La traduzione in italiano degli Elementi di Euclide ed un Trattato sul gioco degli scacchi che faceva parte di un lavoro più ampio che egli aveva intitolato De Ludis ovvero Schifanoia e dedicato a Francesco Gonzaga e a Isabella D’Este. Esiste anche una lettera di suppliche che il Pacioli invio’ al Doge di Venezia (che all’epoca era Leonardo Loredan) in data 29 Dicembre 1508 per ottenere il privilegio di stampa delle sue opere, fra le opere citate e’ presente il De Viribus. L’opera è divisa in tre parti : Prima Parte Delle forze naturali cioé de Arithmetica Seconda Parte Della virtu et forza lineale et geometria Terza Parte De documenti morali utilissimi La prima parte è certamente quella piu’ importante per la storia della matematica , perchè costituisce la prima grande collezione di giochi matematici e problemi dilettevoli. Qualche esempio isolato si ha nella letteratura matematica orientale e araba, e solo nel X secolo troviamo una prima collezione nell’opera di Alcuino, precettore di Carlo Magno, Propositiones ad Acuendos Iuvenes raccolta che ando’ certamente per le scuole fondate da Carlo Magno e mise le basi di quelle questioni erratiche che trovarono posto oltre che nel Liber Abbaci di Leonardo Pisano detto Fibonacci, in altre opere manoscritte o stampate del rinascimento. Gli storici ignorando l’esistenza del lavoro di Pacioli, hanno attribuito per secoli, il merito della prima raccolta di giochi matematici a Bachet di Mezierac col suo Problemes Plaisant et Delectable (1612) da dove hanno attinto gli autori successivi Van Etten, Ozanam, Alberti e via via tutti gli altri. Pur non togliendo la priorita’ della stampa al Bachet, questo merito va riconosciuto al Pacioli, nella prima parte del De Viribus, difatti sono riportati molti dei problemi trattati poi dal Bachet, come vedremo più dettagliatamente nei links dei singoli problemi. Per i giuochi numerici della prima parte, utilizzo i risultati di uno studio fatto da Amedeo Agostini, Bologna 1925.
Nel gennaio del 2002, studiando la seconda parte, ho fatto alcune scoperte interessanti, sfuggite ai precedenti esaminatori. Pacioli descrive una decina di giochi topologici. Vedi sopra, Seconda Parte (prob 106-116). Questi giochi si credevano piu’ recenti, si era a conoscenza di riferimenti compresi fra il 1550 ed il 1750. In effetti, per la totale mancanza delle figure a cui si fa riferimento, l’identificazione di questi puzzles sarebbe stata possibile solo ad uno specialista del settore.
TESSERE di MAC MAHON SU SUPERFICI TRIDIMENSIONALI
Una serie di pezzi di Mac Mahon è costituita generalmente da un insieme di tessere quadrate o triangolari colorate su ogni lato o su ogni vertice con n colori.
A ottanta anni dall’uscita del libro di Percy MacMahon “New Mathematical Pastime“, mi meraviglio del poco lavoro di indagine svolto intorno a queste serie colorate che nondimeno nascondono sorprese interessanti.
Ho diviso l’argomento in 4 sezioni:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Per la classificazione dei pezzi ci sono due caratteristiche fondamentali che vanno considerate RIPETIZIONE e RIFLESSIONE. Ovviamente in quelle serie dove la ripetizione è ammessa un solo colore è sufficiente per ottenere almeno una tessera, in quelle serie dove la ripetizione non è ammessa, occorreranno almeno tanti colori quanti sono i lati dei pezzi considerati. Dopo questa premessa possiamo considerare 4 tipi di famiglie che chiameremo A,B,C,D secondo lo schema seguente:
Utilizzando note formule combinatorie possiamo ora contare di quante tessere è composta ciascuna famiglia in base alla forma delle Tessere: Triangoli equilareri, quadrati ecc., ed in base al numero di colori n utilizzati.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Osservando le tavole precedenti e’ possibile individuare un notevole numero di combinazioni che possono dar luogo a differenti poliedri.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Problemi di pesate
| Nel 1556 Tartaglia nel suo Trattato (1) indico’ come, con la serie di pesi 1,2,4,8,16,32 fosse possibile pesare qualunque numero da 1 a 40 ed oltre, servendosi di una bilancia a doppio piatto, con l’ulteriore restrizione di poter porre i pesi da una sola parte.
Se possono essere posti su entrambi i piatti sono sufficienti i pesi 1,3,9,27. Questo problema e’ internazionalmente noto come problema di Bachet, perche’ appare nei suoi Problemes (2) che e’ considerata la prima raccolta storica di problemi ricreativi e ripubblicata negli anni molte volte. In realta’ moltissimi dei problemi del Bachet sono tratti da un manoscritto di Luca Pacioli, il De Viribus Quantitatis (3) presente qui a Bologna nella biblioteca universitaria al num.250, poco conosciuto, ma va sicuramente considerato come l’antesignano di questo genere. Diverse serie di pesi possono essere selezionati per poter pesare da 1 a 40 con le seguenti restrizioni: a) Nessuna altra pesata potra’ essere possibile. b) Ciascuna pesata e’ possibile in un solo modo. La soluzione a questo problema richiede un’analisi complessa. Il generale Mac Mahon in un articolo apparso nel Quaterly Journal (4), dimostra che esistono otto di tali serie. Precisamente sono: (1^40), (1, 3^13), (1^4, 9^4), (1, 3, 9^4), (1^13, 27), (1, 3^4, 27), (1^4, 9, 27), (1, 3, 9, 27). dove ogni esponente indica quante volte quel peso rientra nella serie. Da allora un gran numero di problemi riguardanti pesate sono stati proposti, ma nessuno e’ piu’ conosciuto del: PROBLEMA DELLE 12 PALLINE, i frequentatori di it.hobby.enigmi lo sanno bene, non passa settimana senza che qualche neofita lo riproponga. Cerchiamo di saperne qualcosa di più. L’enunciato e’ questo: Si hanno 12 palline apparentemente tutte uguali, tuttavia e’ presente una pallina difettosa, più leggera o piùpesante delle altre.
Avendo a disposizione una bilancia a doppio piatto, individuarla e determinare se sia piu’ pesante o più leggera delle altre. Vi sono 2 modi essenzialmente diversi di affrontare la questione. Nel primo metodo, le palline da pesare sono scelte in base al risultato delle pesate precedenti, nel secondo, più sofisticato, la distribuzione delle palline sui piatti viene stabilita a priori. Vediamoli. PRIMO METODO Prima Pesata = ABCD EFGH Primo caso, scende un piatto (senza perdere di generalita’ diciamo quello di sinistra), sappiamo subito che X e’ in ABCD piu’ pesante oppure in EFGH piu’ leggera. Seconda Pesata = ABCE DLMN. Sappiamo che LMN sono regolari, allora ecco i tre casi possibili: 1) Scende ABCE, X e’ fra ABC ed e’ più pesante, in questo caso la terza pesata sara’ confrontare A con B, se c’e equilibrio la pallina cercata e’ la C. 2) C’e’ equilibrio, allora X e’ fra FGH ed e’ più leggera. Terza pesata, confronto F con G. 3) Scende DLMN, allora X=D piu’ pesante oppure X=E più leggera. La terza pesata sara’ confrontare una di queste, diciamo D con una sicuramente regolare. Secondo Caso, i piatti restano in equilibrio. X e’ fra ILMN. Seconda Pesata = ILM ABC. Dato che ABC sono tutte regolari, se c’e’ equilibrio, X=N, e la terza pesata consiste nel confrontare N con A. Se ILM e’ più pesante o più leggero, con la terza pesata , verranno testate I con L. SECONDO METODO Per un risultato certo, ciascuna pallina deve subire un trattamento personalizzato… diverso da ogni altra. Considerazioni preliminari a) Tutte le palline devono essere pesate almeno una volta. b) Occorrono 24 risultati differenti, perché la difettosa può essere scelta fra 12 ed essere più pesante o più leggera. c) Con 3 pesate e’ possibile ottenere 27 diversi risultati, ma nel nostro caso se una pallina difettosa e’ presente, = = = per le tre pesate non sara’ possibile. d) Dobbiamo eliminare altri 2 risultati, per comodità scegliamo \\\ e ///, basterà non pesare la stessa pallina per 3 volte sullo stesso piatto. Per una distribuzione inequivocabile, dividiamo le nostre palline in quattro gruppi di 3. Questa volta rappresento le palline con le lettere ABC, DEF, GHK, XYZ, divise cosi’ nei quattro gruppi. Per distribuire sulla bilancia le palline di ciascun gruppo in modo diverso, posso avvalermi del seguente schema: Fuori Piatto Piatto
Bilancia Sinistro Destro
ABC 0 1 2
DEF 1 2 0
GHK 2 0 1
XYZ 1 1 1
Lo schemino ci indica che per ogni pesata le palline ABC non devono essere escluse (Fuori Bilancia = 0), una sara’ sempre sul piatto di sinistra e due sul piatto di destra. Per la considerazione fatta al punto d) la pallina sul piatto di sinistra non puo’ essere sempre la stessa. Cosi’ anche per gli altri gruppi. Delle palline DEF, una sara’ sempre fuori bilancia, due sul piatto di sinistra, e nessuna sul piatto di destra ecc.. Con un po’ di attenzione e trattando le palline di ciascun gruppo ciclicamente, possiamo finalmente trovare una distribuzione per ciascuna pesata che rispetta cio’ che si e’ detto: Fuori Piatto Piatto
Bilancia Sinistro Destro
Prima DHKX AEFZ BCGY
Seconda EKGY BFDX CAHZ
Terza FGHZ CDEY ABKX
Osservando lo schema possiamo dire che se nessuna pesata risultera’ bilanciata, la pallina difettosa e’ stata pesata 3 volte, perciò farà parte del gruppo ABC. Se una sola pesata risulterà in equilibrio e nelle altre due è sceso lo stesso piatto, deve essere nel gruppo DEF. Con 2 pesate in equilibrio su tre, la pallina è da cercare nel gruppo GHK. Infine se sarà fra XYZ ci sarà stata una pesata in equilibrio, e per le altre due sarà sceso prima un piatto poi l’altro. Ogni possibile risultato delle tre pesate Individuerà una ed una sola pallina: /\\ A+ \// A- \/\ B+ /\/ B- \\/ C+ //\ C- =// D+ =\\ D- /=/ E+ \=\ E- //= F+ \\= F- ==\ K+ ==/ K- =\= H+ =/= H- \== G+ /== G- =/\ X+ =\/ X- \=/ Y+ /=\ Y- /\= Z+ \/= Z- A questo punto possiamo affrontare un problema leggermente più complicato: Date 13 palline fra cui forse una è difettosa, ed una quattordicesima pallina sicuramente normale, trovare l’eventuale pallina differente, e dire se sia più pesante o più leggera. Utilizzando la stessa soluzione del problema precedente (secondo metodo), possiamo facilmente sciogliere la matassa, difatti non faremo altro che aggiungere sul piatto di sinistra la tredicesima pallina, e sul piatto di destra la pallina regolare in tutte le pesate. Se la difettosa è tra le prime 12, i risultati restano quelli visti in precedenza, con = = = non ci sono palline difettose. Con /// oppure \\\ la 13esima è più pesante o più leggera rispettivamente. Questo è un problema che possiamo definire “perfetto” perché sono richiesti 27 esiti, tutti quelli ottenibili con tre pesate. Alcune generalizzazioni sono state studiate da Roberto Magari (6) e Dani Ferrari (7). Se pensiamo ad n palline di cui 0,1,2, o 3 possono essere più pesanti oppure differenti, si possono confezionare decine di enigmi, fino ad arrivare a mostruosità non risolvibili con mezzi umani, come questa proposta da Ferrari: Avete 16 monete d’oro, in apparenza tutte uguali. Forse sono tutte buone, forse una o due o tre sono false. Se ci sono monete false, sono più leggere di quelle buone. Con la solita bilancia, in 6 pesate trovate se e quante monete false esistono e individuatele Ci sono 3^6 = 729 possibili risultati con 6 pesate, ed il problema per come è posto, ammette 697 casi. Abbandoniamo ora le bilance a doppio piatto e prepariamoci ad affrontare un problema del tutto diverso, ma non certo più semplice utilizzando una moderna bilancia elettronica con esatta lettura del peso. Il problema e’ questo: Date sei palline di cui una di peso differente, individuarla in 3 pesate, stabilendo anche il peso esatto sia delle palline regolari che quello della pallina difettosa Dal momento che non abbiamo dati riguardanti il peso delle regolari, tanto meno alla differenza in più o in meno che può assumere la pallina cercata, la soluzione dovrà essere data dal confronto finale dei tre risultati. Dovremo distribuire le palline nelle tre pesate in modo diverso l’una dalle altre se, ad es. una pallina fosse coinvolta solo nella prima pesata, questa, affinchè possa essere distinta dalle altre, deve essere l’unica con tale caratteristica. Una siffatta distribuzione valida fino a 7 palline, si può ottenere prendendo le disposizioni con ripetizione di 2 oggetti presi 3 alla volta. Se A,B,C indicano le tre pesate , “1” quando una pallina viene posta sul piatto, “0” quando ne resta fuori, possiamo scrivere (tralasciando il caso banale) le seguenti combinazioni: Palline -> 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 1 1 1 1 B 0 1 1 0 0 1 1 C 1 0 1 0 1 0 1 La tabella indica le seguenti pesate: A = palline 4,5,6,7 B = palline 2,3,6,7 C = palline 1,3,5,7 Sembrerebbe cosi’ di aver già risolto il problema, difatti se ci fosse differenza nella prima pesata, questa indicherebbe subito la pallina num.4. Tuttavia non sappiamo se sia più pesante o più leggera, perciò per ogni risultato ci sono ancora due possibilità. Un esempio chiarirà meglio questo punto: Supponiamo di ottenere 60, 60, 58 grammi per le tre pesate, i casi sono 2. a) L’unica pallina che compare nell’ultima pesata, la num. 1, e’ più leggera di 2 grammi e le regolari peserebbero 20g. b) L’unica pallina che compare nelle prime due pesate, la num.6 e’ più pesante di 2 grammi, e le regolari peserebbero 14.5g. Per evitare questa ambiguità, dovremo eliminare alcune delle 7 combinazioni prese in esame. Vi sono 2 modi distinti per selezionare 5 combinazioni utili dalle sette appena viste. Primo Modo Palline -> 1 2 3 4 5 A 1 1 1 0 0 B 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 A = palline 1,2,3 B = palline 1,4,5 C = palline 2,4 In questo modo il problema con 5 palline e’ senz’altro risolto, difatti se ci fossero solo palline regolari, varrebbe la relazione 2A=2B=3C ed una differenza in uno o più di questi rapporti determina in modo inequivocabile la pallina cercata. Se ad esempio, i risultati fossero A=37, B=36, C=25, si vede subito che per ristabilire la relazione vi e’ un eccesso di 1 grammo nella prima e terza pesata. Potremmo concludere che la pallina num.2 pesa 13g. e le altre 12g. ciascuna. Secondo Modo Palline -> 1 2 3 4 5 A 1 1 1 1 0 B 1 1 0 0 1 C 1 0 0 1 0 A = palline 1,2,3,4 B = palline 1,2,5 C = palline 1,4 La relazione diventa 3A = 4B = 6C e come nel caso precedente, una differenza indica la pallina difettosa in modo univoco. Questo secondo caso, a differenza del primo, ci permette l’introduzione della sesta pallina !! Notando che le prime due pesate coinvolgono tutte le 5 palline, se la difettosa e’ fra queste dopo la seconda pesata si osserverebbe una differenza nella relazione 3A = 4B e procederemmo come visto pesando 1,4.. Se invece 3A = 4B fosse rispettata, procederemmo nella terza pesata con C=6. Questa e’ l’unica procedura che risolve il problema dato. Il passo successivo lo fece il giapponese Kobon Fujimura, proponendo sul RMM (8) di trovare, determinando anche il peso, una pallina difettosa su 15 in 4 pesate. Devo dire che questo e’ un problema davvero complesso ed alla luce di ciò che abbiamo detto per il problema precedente, ecco la soluzione. Etichettiamo le palline con i numeri da 1 a 15, e chiamiamo le 4 pesate A,B,C,D. Procediamo con le prime due pesate nel seguente modo: A = 8,9,10,11,12,13,14,15. B = 4,5,6,7,12,13,14,15. Non pesate = 1,2,3. Supponiamo per il momento che i risultati delle prime due pesate siano uguali, (vedremo in seguito il caso “differenti”). La difettosa e’ fra quelle NON pesate oppure pesate due volte. Dobbiamo quindi indagare fra 1,2,3,12,13,14,15., e dovendo fare in modo che ogni pallina sospetta sia pesata in modo differente da ciascuna altra per essere individuata, possiamo procedere con: C = 2,3,14,15 D = 1,3,13,15 Le palline sospette appaiono cosi’ nelle varie pesate: Pallina Pesate 1 D 2 C 3 C,D 12 A,B 13 A,B,D 14 A,B,C 15 A,B,C,D Questo risolve gia’ il nostro problema ? Purtroppo no! Facciamo un esempio. I risultati delle 4 pesate sono 81, 81, 40, 40. Se le palline fossero tutte autentiche i risultati delle prime due pesate sarebbero il doppio delle ultime due. Qui vediamo che c’e’ un eccesso di 1 in A, B oppure un difetto di 0.5 in C, D. Nel primo caso avremmo 10g. per le palline autentiche e 11g. per la num.12 che è l’unica ad apparire nelle pesate A, B oppure 8.1g. per le autentiche e 7.6 grammi per la num.3, unica ad apparire nelle pesate C, D. Come fare per evitare questo ostacolo ? Il trucco sta nell’aggiungere una o due palline sicuramente autentiche in C o in D. Noi decidiamo di aggiungere 2 palline in C, che diventa: C = 2, 3, 14, 15, + 8, 9. A questo punto possiamo fare una schemino che ci da’ per ciascuna pallina sospetta la differenza ottenuta confrontando le pesate 4C – 6D e B – 2D che risulterebbero = 0 se le palline fossero tutte uguali. Palline -> 1 2 3 12 13 14 15 4C-6D -6 4 -2 0 -6 4 -2 B-2D -2 0 -2 1 -1 1 -1 Cosi’ la pallina può essere individuata. Difatti se ad es. A=81, B=81, C=60, D=40, si avrebbe: 4C – 6D = 240 – 240 = 0 B-2D = 81 – 80 = 1 E’ la pallina num 12 piu’ pesante di 1g. Un’altro es. A=79.5, B=79.5, C=59.5, D=40. Si ottiene: 4C – 6D = 238 – 240 = -2. B – 2D = 79.5 – 80 = -0.5. I due risultati stanno 4/1 perciò e’ la pallina num.14 che si trova in A,B,C. In D sono tutte autentiche e peseranno 40/4 = 10g. l’una, e la num 14 pesera’ 9.5g. Nel caso che le due prime pesate siano differenti, il sistema e’ del tutto analogo, le sospette sono quelle pesate una volta sola, vale a dire 4,5,6,7,8,9,10,11. Allora procedendo con: C = 6, 7, 10, 11 + 3, 14. D = 5, 7, 9, 11. La distribuzione diventa: Pallina Pesate 4 B 5 B,D 6 B,C 7 B,C,D 8 A 9 A,D 10 A,C 11 A,C,D Possiamo anche notare che i risultati delle pesate 4C – 6D e B – 2D sono identici a quelli ottenuti nel caso precedente e la corrispondenza per le palline 1,2,3,12,13,14,15 e’ rispettivamente 9,10,11,4,5,6,7 c’e’ in più la pallina num.8 che è presente solo nella pesata A. Risulta: 4C – 6D = B – 2D = 0. Riferimenti bibliografici1) Niccolo’ Fontana “Trattato de’ numeri e misure” 1556 libro I cap. XVI art. 32 2) Bachet de Mezierac ” Problemes palaisans et delectable” 1612, prob.V pag,154 3) Luca Pacioli “De viribus quantitatis” ~ 1500 4) Mac Mahon “” Quaterly Journal of Mathematics” 1886 vol.XXI pp 367-373 5)”Scripta Mathematica” 1945, vol 11 num.3-4 pag 360 6) Roberto Magari “Palline e Pesate” rivista Sapere aprile 1984 pp 57-58 7) Dani Ferrari “MC Microcomputer” num.144 ottobre 1994 pp 276-279 8) Kobon Fusjimura ” Recreational Mathematics Magazine” num.2
Aggiungo qui sotto alcune varianti non banali. ID(n) è ìl numero di identificazione del libro dove il problema e’ pubblicato. ID(n) e’ riferito alla lista dei libri in mio possesso.
ID(1120) pag.137 ID(1054) pag.6 Ti vengono date 6 palle. Due rosse, due blu e due gialle. Sono identiche in apparenza, ma una rossa, una blu ed una gialla hanno lo stesso peso e le chiameremo leggere. Anche le rimanenti 3 hanno lo stesso peso, ma maggiore delle altre. Schematicamente possiamo scrivere: R=B=G > r=b=g.Utilizzando la bilancia a doppio piatto due sole volte, determina la pesante e la leggera di ogni colore. ID(1120) pag. 137 Ti vengono date 5 palle da biliardo.Identiche in apparenza. ID(1120) pag. 137 Simile al precedente, ma con 9 palle. Sette sono regolari, una pesante ed una leggera, queste ultime due, insieme bilanciano 2 palle regolari. Determina la pesante e la leggera usando una bilancia a doppio piatto il minimo numero di volte possibile. ID(1022) pag. 123 ID(1048) pag. 147 Ci sono 9 scatole di mentine nella mia dispensa. Quel birichino di mio nipote ha preso un certo numero di mentine da una delle scatole e le ha rimesse in una delle 9 scatole a caso. Ora ci sono 2 possibilita’: a) Le scatole hanno conservato lo stesso peso. b) Una scatola e’ piu’ pesante ed una piu’ leggera, esattamente della stessa quantita’. Con una bilancia a doppio piatto, stabilire quale sia la scatola piu’ pesante e quella piu’ leggera oppure appurare l’equita’ dei pesi in quattro pesate ID(1048) pag.124 Sono date 4 scatole di monete. Ciascuna scatola ne contiene 13. Due scatole contengono solo monete genuine, mentre le altre due contengono monete contraffatte. Le monete contraffatte pesano 2 grammi di piu’ o due grammi di meno delle normali. Tutte le monete false contenute nella stessa scatola sono uguali, ma non necessariamente dello stesso peso dell’altra scatola con monete false. Il peso delle monete regolari e’ conosciuto. Identifica con una sola pesata le due scatole con monete false utilizzando una bilancia elettronica sufficientemente precisa. |
ID(1915) pag. 26
Ci sono 16 monete, tu sai che tra queste almeno una e al massimo 15 sono identiche, ma contraffatte e sono più leggere delle monete regolari. Cerca il numero delle contraffatte usando una doppio piatto e 9 pesate.
ID(1915) pag. 26
Ci sono 3 pile di 5 monete ciascuna. Le monete di ogni pila hanno tutte lo stesso peso, rispettivamente di 4,5,9 grammi. Con bilancia a doppio piatto e due pesate determina il peso delle monete di ciascuna pila.
ID (1915) pag. 26
Di 9 monete si sa che che sono o tutte autentiche oppure 2 di queste sono contraffatte di differente peso, ma che insieme pesano come due normali. Bilancia a doppio piatto e 4 pesate per identificare la più leggera e la più pesante, se ci sono.
ID (1915) pag. 27
Ci sono 4 pile di 7 monete ciascuna. Ogni moneta autentica pesa 10 grammi . Tutte le monete in ciascuna pila hanno lo stesso peso. Non più di due pile sono formate da tutte monete false di 9 grammi ciascuna. In una sola pesata con bilancia elettronica trova le pile false (se ci sono )
ID (1915) pag. 27
Ci sono 5 pile di 6 monete ciascuna. Le monete vere pesano 10 grammi ciascuna. Le monete di una stessa pila hanno lo stesso peso. Una delle 5 pile contiene monete false poco più pesanti delle altre. 3 pesate con bilancia elettronica (Usa meno monete possibile)
ID (1915) pag. 28
Ci sono 4 monete, sappiamo che una di queste è falsa con peso diverso dalle altre. abbiamo a disposizione una bilancia a doppio piatto, ma dotata di una lancetta che indica in grammi la differenza di peso fra i due piatti (se c’è). In 2 pesate determina l’esatto peso di una moneta autentica.
ID (2830) pag. 27
Possiedi una moneta sicuramente vera. Ti viene detto che tra 5 monete che sono sulla tavola, una è falsa. La falsa è più pesante o più leggera delle altre. 2 pesate con bilancia a doppio piatto.
ID (2830) pag. 28
Sette monete, di queste 2 sono false e sono più pesanti delle vere, ma della stessa quantità (le 2 false hanno lo stesso peso). 3 pesate con doppio piatto.
4 Punti 30/12/2001
Sono dati 4 punti in 3D, non tutti sullo stesso piano.
Quanti piani P ci sono tali che le distanze fra P ed i 4 punti sia la stessa ?
Una Strana Relazione 30/12/2001
Non so se ci sia una semplice spiegazione a questo fatto, ma prendendo il triangolo di Tartaglia (sono campanilista) Mod 2
1
1 1
1 0 1
1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
...................
Possiamo leggere per righe e in binario i numeri:
1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, …
Che, come provato da Gauss, sono gli unici poligoni regolari, con un numero di lati dispari, a poter essere costruiti con riga e compasso.
31 Game 29/12/2001
A pagina 145 della sua “Encyclopedia of Improptu Magic”, Martin Gardner fa cenno a questo gioco a due.
31 Game Il giocatore “A” piazza un dado sul tavolo col numero della faccia superiore a suo piacimento.
A turno i due giocatori (ora sta a “B”) ruotano il dado di un quarto, ed ogni volta il valore della faccia superiore viene sommata al precedente totale.
Il primo giocatore che totalizza 31, o forza l’avversario a sballare, vince.
Dice che il primo giocatore ha una strategia vincente, ma non scende in particolari.
Il Taglio della Scacchiera 26/12/2001
Voglio tagliare una scacchiera 8×7 in pezzi lungo le linee ortogonali.
I pezzi possono essere composti da 1,2,3,4,5 caselle, a piacere.
Lo scopo e’ di minimizzare la lunghezza totale dei tagli.
Per ottenere, ad es. 56 caselle singole il taglio sarebbe di 6×8+7×7=97 unita’, ma questa e’ la lunghezza massima.
Banana 4 25/12/2001
Questo e’ piu’ impegnativo dei precedenti.
_ _ _ _ _ _ |1|_|_|_|_|2| |_|_|_|_|_|_| |_|_|x|x|_|_| |_|_|x|x|_|_| |_|_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_|3|
Il pastore (pedina 3) deve portare le due pecore (pedine 1 e 2) all’interno del recinto (le 4 caselle segnate x).
Il pastore si muove come la torre. Le pecore come alfieri.
Il movimento resta lo stesso, presa una direzione ci si ferma o al bordo della scacchiera o contro un altro pezzo.
Banana 3 25/12/2001
_ _ _ _ _ _ _ |1|_|_|_|_|_|2| |_|_|_|_|_|3|_| |_|_|_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_|_|_| |_|4|_|_|_|5|_| |6|_|_|_|_|_|7|
Usando sempre il movimento “banana” portare la pedina 1 nella casella centrale.