Se scrivo gli interi da 1 a 10.000.000.000, sono di piu’ quelli che
contengono almeno una cifra “1” oppure gli altri ?

Mario, contando i suoi animali: cavalli, mucche e galline, si e’ accorto
di possedere un numero primo differente per ciascuna specie. Dice,
inoltre che se moltiplica il numero dei suoi cavalli per la somma dei
cavalli piu’ le mucche, ottiene un numero che e’ 120 volte le sue
galline.
Quanti animali di ciascuna specie possiede Mario?

Diciamo che f(n) e’ il numero di modi di rappresentare n come somma di
due o piu’ primi consecutivi.
Ad es:
2+3 = 5
2+3+5+7+11+13 = 41
11+13+17 = 41
Cosi’ f(5)=1 e f(41)=2.
Qual e’ il piu’ piccolo n con f(n)=k ? k= 3,4,5…..

Se iteriamo il processo di sommare i quadrati delle cifre di un numero
naturale, otteniamo un ciclo oppure finiamo con “1”.
Es. iniziamo con 4. 4^2=16, 1^2+6^2=37, 3^2+7^4=58….. si finisce
nel ciclo
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4.
Es. iniziamo con 7.
7, 49, 97, 130, 10, 1.
I numeri che generano sequenze che terminano in “1” sono noti come
Numeri Felici (NF).
Cerca k NF consecutivi. k= 2,3,4,5…

E’ possibile ottenere tutti i numeri interi da 1 a 36 staccando uno o
piu’ francobolli da un foglio rettangolare di due francobolli per tre,
portanti i valori 1,2,3,5,8,17 e sommando questi valori.
I valori restanti devono pero’ formare sempre un “pezzo” solo (devono
cioe’ rimanere attaccati almeno per un lato).
Potete ricostruire questo foglio di francobolli ?
L’esempio della figura non va bene in quanto e’ impossibile ottenere le
somme 7,10,12,15,24,27 e 32.

|¯¯¯¯|¯¯¯¯|¯¯¯¯|
|  1 |  2 |  3 |
|____|____|____|
|    |    |    | 
|  5 |  8 | 17 |
|____|____|____| 

Aldo, Bruno e Carlo si sottopongono alla stessa serie di esami.
Per ciascun esame, al migliore dei tre vengono assegnati x punti, al
secondo y punti, all’ultimo z punti. Dove x,y,z sono distinti interi
positivi.
Il totale dei punti ottenuti sono:

Aldo   20
Bruno  10
Carlo   9 

Sapendo che Bruno si e’ piazzato primo nell’esame di algebra, chi si e’
piazzato secondo nell’esame di geometria?

    A
     /
    /   
   /_____ 
  /|        | 
 / |        |     
/  |        |       
---|-------|-----------
B                       C 

ABC e’ un triangolo pitagorico, rettangolo in A, e con i lati interi.
Il quadrato inscritto, con un lato sull’ipotenusa, ha a sua volta il
lato intero.
Qual e’ il piu’ piccolo quadrato con queste caratteristiche ?

Ho trovato un vecchio scatolone contenente una bella quantita’, non piu’
di 3000, di dadi di legno tutti uguali.
Allora mi sono divertito a costruire un cubo n*n*n con una certa
quantita’ di questi dadi, poi ho colorato di rosso una o piu’ facce del
medesimo. Rismontato il cubo ho contato quanti singoli dadi erano stati
macchiati di rosso. Anche se vi dicessi quanti, non potreste dirmi con
certezza il valore di n. Pero’ se aggiungo che i dadi col colore, sono
1/6 di quelli adoperati per la costruzione, forse…….

Vediamo se questo resiste qualche ora in piu’.
Sn= 6 + 66 + 666 + 6666 +…+ (66…66)
dove l’ultimo termine, fra parentesi, e’ composto di n cifre “6”.
Quanto vale Sn ??

Qual e’ il maggior numero di termini possibili in una progressione
geometrica con il rapporto comune >1 tale che tutti i termini siano
interi presi tra 100 e 1000 compresi ??