Ed Pegg chiede di mettere una cifra in ogni cella di un
rettangolo 3×4 in modo tale che i 3 numeri di quattro cifre
orizzontali e i quattro numeri di tre cifre verticali siano
tutti triangolari.

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Nella scacchiera 6×6 senza uno spigolo, desidero annerire
alcune caselle, il minimo possibile, in modo tale che tutte
le caselle rimaste bianche siano adiacenti (in contatto per
un lato) ad almeno una nera.

Chi mi aiuta ?

Puoi vincere una certa cifra nel seguente gioco.

Il banco lancia k dadi, e ad ogni lancio ti vengono pagati tanti Euro
quanti sono i valori che compaiono una volta sola.

Se ad es. k=4 ed il risultato e’ 1,3,3,5 vinci 2 Euro per l’uno ed il
cinque, il tre apparso piu’ di una volta viene annullato.

Che valore di k scegli per massimizzare la tua vincita ?

Una scatola contiene b palline bianche e r palline rosse.

(b>2)

Estraendone 3 a caso (senza rimpiazzo) la probabilita’ che
siano tutte bianche e’ p.

Se si aggiunge una pallina bianca a quelle gia’ presenti,
allora detta probabilita’ aumenta di un terzo del suo
valore.

Qual e’ il massimo numero di palline rosse presenti nella
scatola?

La signora Maria alla festa del suo ventesimo anniversario
di matrimonio, spiega che il piu’ giovane dei suoi 3 figli
si diverte molto quando lei pone un certo problema sulla
loro eta’.
E lo spiega.

“Io chiedo generalmente, ai miei ospiti, di indovinare
l’eta’ dei miei tre figli dando loro, la somma ed il
prodotto dei tre numeri.

Guarda caso proprio oggi Paolo non e’ stato in grado di
indovinare cosi’ come Piero 2 anni fa.”



Che eta’ avranno ? Mha!

Questo problema concerne la costruzione di interi positivi.

Un nuovo intero puo’ essere generato dal precedente
utilizzando una qualunque di queste tre operazioni:



a) Aggiungo uno zero alla fine (moltiplicazione per 10).

b) Aggiungo un 4 alla fine (moltiplico per 10 poi aggiungo 4).

c) Divido a meta’ se il numero e’ pari.



Partendo dal numero 4, e’ possibile generare tutti gli
interi?



ES. posso ottenere il num.3 applicando cbccc =
4,2,24,12,6,3.

Un normale dado viene lanciato n volte. La stringa dei
risultati viene divisa in gruppi, dove ogni gruppo contiene
numeri crescenti, in altre parole n < (n+1) < (n+2).. fanno parte dello stesso gruppo.

Es. Se il risultato di 10 lanci fosse = 3,2,3,5,1,6,6,1,3,5,
allora si conterebbero 5 gruppi:

(3) (2,3,5) (1,6) (6) (1,3,5).

Se il procedimento e’ ripetuto molte volte, quanti gruppi
mediamente ci si aspetta di ottenere in funzione di n ??

Ogni nodo di una griglia rettangolare mxn e’ marcato con un
intero positivo chiamato peso.

Il costo di un percorso che attraversa la griglia e’ uguale
alla somma dei pesi dei nodi toccati.

Dovendo andare dall’angolo in basso a sinistra all’angolo in
alto a destra del nostro rettangolo, e’ evidente che, se
tutti i nodi hanno lo stesso peso, i costi dei percorsi
minimi (cioe’ senza tornare indietro) sarebbero tutti
uguali. Ad es:

           B
 2  2  2  2
 2  2  2  2
 2  2  2  2
A

In questo rettangolo 3×4 i 10 percorsi minimi (5 passi) che
vanno da A a B, hanno tutti un costo = 12.

Come e’ possibile marcare i nodi di una griglia mxn con pesi
non tutti uguali, in modo tale che tutti i percorsi minimi
abbiano lo stesso costo ?

Leggo a pag.128 del Dictionary of Courious and Interesting
Numbers di D.Wells che 128 (che combinazione!) e’ il piu’
grande intero che non e’ somma di distindi quadrati, in
altre parole tutti i naturali maggiori di 128, possono
essere espressi come somma di quadrati distinti.

Come si puo’ dimostrare ?

Qual e’ il maggior intero positivo non esprimibile come
somma di distinti cubi ?

Una pedina e’ piazzata nell’angolo in basso a sinistra di
una scacchiera n * (n+1).

La pedina comincia il suo giro, muovendo di una casella alla volta in diagonale, direzione alto-destra, finche’ non incontra un bordo.

A questo punto la pedina “rimbalza” facendo una curva ad angolo retto, e continua ad avanzare di una casella alla volta, rimbalzando
come una palla da biliardo ogni volta che incontra un bordo, finche’ non finisce in un angolo.

Di quante mosse e’ composto il giro della pedina ??