E’ sempre vero che la somma di n numeri naturali consecutivi e’
divisibile per n?

Michael Reid propone un problema impegnativo.

Trovare una regione di 60 quadrati, copribile con i 12 pentamini,
esattamente in 2001 modi differenti.

Ho organizzato l’archivio dei miei giochi matematici in 3 volumi A, B,
C, le pagine sono numerate sequenzialmente dalla prima pagina di A,
all’ultima di C.

Con SP(x) rappresento la somma della numerazione delle pagine del volume
x, (se ad es. A fosse formato da 50 pagine, risulterebbe SP(A)=1275) ho
notato che:

SP(C) = SP(A)+SP(B)

inoltre SP(A) = al quadrato del numero di pagine presenti nel vol. B.



Di quante pagine sono composti i volumi, sapento che ciascuno ne ha
piu’ di 40 e meno di 300?

Il matematico francese Joseph Liuville, ha scoperto questa curiosa
proprieta’ :

Prendiamo un qualunque intero positivo N. Es. 6

Determiniamo i divisori di N. Nel nostro es. i divisori di 6 sono
(1,2,3,6).

Contiamo ora quanti divisori ha, a sua volta, ciascun divisore di N,
nel nostro caso (1,2,2,4).

Allora la somma dei cubi di questi ultimi numeri e’ uguale al quadrato
della somma dei numeri stessi:

1^3+2^3+2^3+4^3 = (1+2+2+4)^2 = 81



Altro es: N=12

Divisori di 12 = (1,2,3,4,6,12)

numero di divisori dei precedenti = (1,2,2,3,4,6)



1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3 = (1+2+2+3+4+6)^2 = 324.

Perche’ funziona ?

Il gatto Miagolone sta cercando di catturare il topo Furbino che vive in
una di 17 cavita’.

Le cavita’ sono unite da un’unica galleria rettilinea che le collega tutte.

Miagolone sa che Furbino ogni giorno si sposta in una cavita’ adiacente
a suo piacimento, se ad es. un dato giorno sta nella cavita’ num 10, il
giorno dopo si sposta nella 9 o nella 11.

Miagolone ogni giorno riesce a controllare solo 2 cavita’, e’ evidente
che visitando le cavita’ (1,2) ( 2,3) (3,4)……(16,17) gli riuscira’
di localizzare il topo in un massimo di 16 giorni, ma questa non e’ la
strategia migliore.

Mettiti nei panni di Miagolone, in quanti giorni riusciresti
nell’impresa ??

Dalla stringa infinita formata ripetendo le cifre significative nel loro
ordine 12345678912345678912345….. formo infiniti numeri tali che
ciascuno contenga una cifra in piu’ del precedente.

Il primo e’ formato da 1 cifra, il secondo da 2…ecc. In pratica ho:

1
23
456
7891
23456
789123
4567891
23456789... ecc

Ora consideriamo la sequenza formata dalle prime cifre di questi numeri
(1,2,4,7,2,7,4,2….)

Cerca l’ennesimo termine.

Un numero tetraedrico Tet(N) e’ della forma n(n+1)(n+2)/6=1,4,10,20….

Con una di queste quantita’ N di palle, potro’ formare, una piramide
tetraedrica di lato n.

Se le palle usate sono numerate da 1 ad N, e seguono una certa regola,
allora ottengo un tetraedro magico (TM).

Ecco la regola:

Posso collocare la palla num.A sulle 3 sottostanti num.

B,C,D solo se B+C-D = A.



Ecco un esempio di TM di ordine 3:

   10    03    05          
                        06   04
      07    02                        09
                           01
         08
        
        sotto            medio        sopra

10+3-7 = 6
 5+2-3 = 4
 7+2-8 = 1
 6+4-1 = 9

Quanti TM di ordine 3 possiamo trovare? e di ordine 4,5,6….

I seguenti triangoli numerici TN di ordine 2 e 3, hanno 2
caratteristiche:
a) Non ci sono numeri ripetuti nello stesso triangolo.
b) Ogni numero, a partire dalla seconda fila, e’ la somma dei 2 numeri
sottostanti.

   3
 1   2



    9
  3   6
1   2   4

Quello che ci interessa e’ minimizzare il numero piu’ alto per ciascuna
piramide di ordine n.
Con questa ottica vediamo subito che la piramide di ordine 3, puo’
essere migliorata con:

    8
  3   5
2   1   4 

Scriviamo allora PN 2(3), PN 3(8).
Quali sono i risultati migliori per PN 4,5,6,7…..

E’ piu’ facile ottenere 13 punti lanciando contemporaneamente 3 dadi o 4
dadi ?

Dieci persone sono sedute attorno ad un tavolo. La somma di 10 Euro e’
distribuita fra questi in modo tale che ciascuno riceve una somma che e’
la media dei due che gli sono vicino.
In quanti modi differenti puo’ essere fatto ?